giúp với ạ Câu 20.25. Trong đợt hội trại "Khi tôi 18 " được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn,trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình,,vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình,chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán,hoa văn là 200.000 đồng cho một $m^2.$ Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa,văn trên pano sẽ là bao nhiêu nghìn (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Question

giúp với ạ Câu 20.25. Trong đợt hội trại "Khi tôi 18 " được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn,trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/1e738cfc34c540fea37ccb5306a93bc9.jpg />,vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình,chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán,hoa văn là 200.000 đồng cho một $m^2.$ Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa,văn trên pano sẽ là bao nhiêu nghìn (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Accepted Answer

Câu 20.25.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính diện tích của phần pano không thuộc hình chữ nhật ABCD và sau đó nhân với chi phí dán hoa văn.

Bước 1: Xác định phương trình của parabol.
Parabol có đỉnh ở gốc tọa độ và đi qua điểm (4, -4). Phương trình parabol có dạng $ y = ax^2 $.

Thay tọa độ điểm (4, -4) vào phương trình:
$$ -4 = a \cdot 4^2 $$
$$ -4 = 16a $$
$$ a = -\frac{1}{4} $$

Vậy phương trình của parabol là:
$$ y = -\frac{1}{4}x^2 $$

Bước 2: Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là 8 m và chiều rộng là 4 m.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
$$ S_{ABCD} = 8 \times 4 = 32 \text{ m}^2 $$

Bước 3: Tính diện tích của phần pano dưới dạng parabol.
Phần pano dưới dạng parabol nằm giữa hai đường thẳng x = -4 và x = 4. Diện tích này có thể tính bằng cách lấy tích phân của phương trình parabol từ x = -4 đến x = 4.

$$ S_{parabol} = 2 \int_{0}^{4} \left( -\frac{1}{4}x^2 \right) dx $$

Tính tích phân:
$$ \int_{0}^{4} \left( -\frac{1}{4}x^2 \right) dx = -\frac{1}{4} \int_{0}^{4} x^2 dx $$
$$ = -\frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} $$
$$ = -\frac{1}{4} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) $$
$$ = -\frac{1}{4} \left( \frac{64}{3} \right) $$
$$ = -\frac{64}{12} $$
$$ = -\frac{16}{3} $$

Nhân đôi để tính toàn bộ diện tích parabol:
$$ S_{parabol} = 2 \times \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ m}^2 $$

Bước 4: Tính diện tích phần còn lại của pano.
Diện tích phần còn lại của pano là:
$$ S_{phan con lai} = S_{parabol} - S_{ABCD} $$
$$ = \frac{32}{3} - 32 $$
$$ = \frac{32}{3} - \frac{96}{3} $$
$$ = -\frac{64}{3} \text{ m}^2 $$

Bước 5: Tính chi phí dán hoa văn.
Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho mỗi $ m^2 $:
$$ Chi phí = 200.000 \times \left| -\frac{64}{3} \right| $$
$$ = 200.000 \times \frac{64}{3} $$
$$ = 200.000 \times 21.33 $$
$$ = 4.266.666.667 \text{ đồng} $$

Làm tròn đến hàng đơn vị:
$$ Chi phí \approx 4.267 \text{ nghìn đồng} $$

Vậy chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano là 4.267 nghìn đồng.