giúp với ạ Câu 20.25. Trong đợt hội trại "Khi tôi 18 " được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn,trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình,,vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình,chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán,hoa văn là 200.000 đồng cho một $m^2.$ Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa,văn trên pano sẽ là bao nhiêu nghìn (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Question

giúp với ạ Câu 20.25. Trong đợt hội trại "Khi tôi 18 " được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn,trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/10f4359c412f447ea44590def9206516.jpg />,vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình,chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán,hoa văn là 200.000 đồng cho một $m^2.$ Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa,văn trên pano sẽ là bao nhiêu nghìn (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Accepted Answer

Câu 20.25.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính diện tích của phần pano sẽ được trang trí hoa văn và sau đó nhân với chi phí trang trí để tìm chi phí thấp nhất.

Bước 1: Xác định phương trình của parabol.
Parabol có đỉnh ở gốc tọa độ và đi qua điểm (4, -4). Phương trình parabol có dạng $ y = ax^2 $.

Thay tọa độ điểm (4, -4) vào phương trình:
$$ -4 = a \cdot 4^2 $$
$$ -4 = 16a $$
$$ a = -\frac{1}{4} $$

Vậy phương trình của parabol là:
$$ y = -\frac{1}{4}x^2 $$

Bước 2: Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là 8 m (từ -4 đến 4) và chiều rộng là 4 m (từ 0 đến 4).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
$$ S_{ABCD} = 8 \times 4 = 32 \text{ m}^2 $$

Bước 3: Tính diện tích dưới parabol từ x = -4 đến x = 4.
Diện tích dưới parabol từ x = -4 đến x = 4 là:
$$ S_{parabol} = 2 \int_{0}^{4} \left( -\frac{1}{4}x^2 \right) dx $$

Tính tích phân:
$$ \int_{0}^{4} \left( -\frac{1}{4}x^2 \right) dx = -\frac{1}{4} \int_{0}^{4} x^2 dx $$
$$ = -\frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} $$
$$ = -\frac{1}{4} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) $$
$$ = -\frac{1}{4} \left( \frac{64}{3} \right) $$
$$ = -\frac{64}{12} $$
$$ = -\frac{16}{3} $$

Vì diện tích là giá trị dương, ta lấy giá trị tuyệt đối:
$$ \left| -\frac{16}{3} \right| = \frac{16}{3} $$

Diện tích dưới parabol từ x = -4 đến x = 4 là:
$$ S_{parabol} = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \text{ m}^2 $$

Bước 4: Tính diện tích phần còn lại của pano sẽ được trang trí hoa văn.
Diện tích phần còn lại là:
$$ S_{hoa_van} = S_{parabol} - S_{ABCD} $$
$$ = \frac{32}{3} - 32 $$
$$ = \frac{32}{3} - \frac{96}{3} $$
$$ = -\frac{64}{3} $$

Vì diện tích là giá trị dương, ta lấy giá trị tuyệt đối:
$$ S_{hoa_van} = \frac{64}{3} \text{ m}^2 $$

Bước 5: Tính chi phí trang trí hoa văn.
Chi phí trang trí hoa văn là:
$$ Chi phí = S_{hoa_van} \times 200 \text{ nghìn đồng/m}^2 $$
$$ = \frac{64}{3} \times 200 $$
$$ = \frac{12800}{3} $$
$$ \approx 4266.67 \text{ nghìn đồng} $$

Vậy chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano là khoảng 4267 nghìn đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp số: 4267 nghìn đồng.