Kkgnvcbhkvnxbgk $P=|\sqrt x-\frac1{\sqrt x}|:(\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x}+\frac{1-\sqrt x}{x+\sqrt x})$,Câu 2 (1.0 điểm): Cho biểu thức với $x\geq0,~x
e1$,a) Rút gọn biểu thức P .,$x=\frac2{2+\sqrt3}$,b) Tính giá trị của biểu thức P khi

Question

Accepted Answer

Câu 2
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức $ P $

Biểu thức $ P $ được cho là:
$$ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} $$

Bước 1.1: Tìm mẫu chung và thực hiện phép trừ phân thức

Mẫu chung của hai phân thức là $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

Rút gọn biểu thức:
$$ P = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 - (\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

Bước 1.2: Áp dụng hằng đẳng thức để mở rộng các bình phương

Ta có:
$$ (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 $$
$$ (\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1 $$

Do đó:
$$ P = \frac{(x + 2\sqrt{x} + 1) - (x - 2\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

Bước 1.3: Thực hiện phép trừ ở tử số

$$ P = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1 - x + 2\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$
$$ P = \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

Bước 1.4: Rút gọn biểu thức

Nhận thấy rằng $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1$, do đó:
$$ P = \frac{4\sqrt{x}}{x - 1} $$

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $ P $ khi $ x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} $

Bước 2.1: Rút gọn giá trị của $ x $

Ta có:
$$ x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} $$

Nhân cả tử và mẫu với $ 2 - \sqrt{3} $:
$$ x = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} $$
$$ x = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3} $$
$$ x = 4 - 2\sqrt{3} $$

Bước 2.2: Thay giá trị của $ x $ vào biểu thức $ P $

$$ P = \frac{4\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{(4 - 2\sqrt{3}) - 1} $$
$$ P = \frac{4\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{3 - 2\sqrt{3}} $$

Bước 2.3: Rút gọn biểu thức

Nhận thấy rằng $ 4 - 2\sqrt{3} $ có thể viết lại dưới dạng $ (\sqrt{3} - 1)^2 $, do đó:
$$ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1 $$

Thay vào biểu thức $ P $:
$$ P = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{3 - 2\sqrt{3}} $$

Nhân cả tử và mẫu với $ 3 + 2\sqrt{3} $:
$$ P = \frac{4(\sqrt{3} - 1)(3 + 2\sqrt{3})}{(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})} $$
$$ P = \frac{4(\sqrt{3} - 1)(3 + 2\sqrt{3})}{9 - 12} $$
$$ P = \frac{4(\sqrt{3} - 1)(3 + 2\sqrt{3})}{-3} $$
$$ P = -\frac{4(\sqrt{3} - 1)(3 + 2\sqrt{3})}{3} $$

Tính tiếp:
$$ P = -\frac{4(3\sqrt{3} + 6 - 3 - 2\sqrt{3})}{3} $$
$$ P = -\frac{4(\sqrt{3} + 3)}{3} $$
$$ P = -\frac{4\sqrt{3} + 12}{3} $$
$$ P = -\frac{4\sqrt{3}}{3} - 4 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ khi $ x = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} $ là:
$$ P = -\frac{4\sqrt{3}}{3} - 4 $$