giải chính xác Câu 18. Cho hình chop đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a-/z, cạnh bệ?,$SA=2a.$ Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (SAC) bằng $\sqrt{\frac bc}$ với phân số $\frac bc$ tối,giản, $b0,~c0.$ Tính $T=b+2c.$,Trả lời: $\Box\Box\Box$,Câu 19. Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ,(42 cm x 42 cm) trong không gian Ozyz (giả sử $|\overrightarrow i|=|\overrightarrow j|=|\overrightarrow k|=1~cm).$ Cho biết vận động viên,đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục d của nòng súng và,cọc đỡ bia d' lần lượt có phương trình $d:\left\{\begin{array}{l}x=t\y=2\z=4\end{array} ight.$ và $d^\prime:\left\{\begin{array}{l}x=1\y=2\z=1+3t^\prime\end{array} ight..$ Để bắn trúng hồng tâm,(thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d^\prime$ và cách giao điểm,của d và d' một khoảng 6 cm. Khi $c0,~c0.$ Tính $T=3c+2b$,Trả lời:

Question

giải chính xác Câu 18. Cho hình chop đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a-/z, cạnh bệ?,$SA=2a.$ Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (SAC) bằng $\sqrt{\frac bc}$ với phân số $\frac bc$ tối,giản, $b>0,~c>0.$ Tính $T=b+2c.$,Trả lời: $\Box\Box\Box$,Câu 19. Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ,(42 cm x 42 cm) trong không gian Ozyz (giả sử $|\overrightarrow i|=|\overrightarrow j|=|\overrightarrow k|=1~cm).$ Cho biết vận động viên,đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục d của nòng súng và,cọc đỡ bia d' lần lượt có phương trình $d:\left\{\begin{array}{l}x=t\y=2\z=4\end{array}ight.$ và $d^\prime:\left\{\begin{array}{l}x=1\y=2\z=1+3t^\prime\end{array}ight..$ Để bắn trúng hồng tâm,(thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d^\prime$ và cách giao điểm,của d và d' một khoảng 6 cm. Khi $c<0,$ tính giá trị biểu thức $2a-b+3c.$,Trả lời: $\Box\Box\Box$,Câu 20. Cho các chữ số 0; 2; 3; 4; 5; 7; 8 . Từ các chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số,khác nhau chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4.,Trả lời:,Câu 21. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất,x sản phẩm $(1\leq x\leq400)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là,$F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho,mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{200000x}{3x+2}$ (đồng). Tổng chi phi mua nguyên vật liệu là,$H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng), nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với,số lượng lớn nên được giảm 2% cho 150 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm,3% cho các sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi,nhuận thu được là lớn nhất?,Trả lời:,22. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a ,ccạh bênnbbằng a . Khoảng ccch từ điểm,A đến mặt phẳng (SCD) bằng $a\sqrt{\frac bc},$ với phân số $\frac bc$ tối giản, $b>0,~c>0.$ Tính $T=3c+2b$,Trả lời:

Accepted Answer

Câu 18.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và vectơ cần thiết.
2. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (SDC) và (SAC).
3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng.
4. Tìm giá trị của $ b $ và $ c $ từ đó tính $ T = b + 2c $.

Bước 1: Xác định các điểm và vectơ cần thiết

- Hình chóp đều $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, và $ SA = 2a $.
- Gọi $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $. Ta có $ O $ là trung điểm của $ AC $ và $ BD $.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (SDC) và (SAC)

- Mặt phẳng (SDC) có hai vectơ trong mặt phẳng là $ \overrightarrow{SD} $ và $ \overrightarrow{SC} $.
- Mặt phẳng (SAC) có hai vectơ trong mặt phẳng là $ \overrightarrow{SA} $ và $ \overrightarrow{SC} $.

Ta tính các vectơ:
$$ \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{D} $$
$$ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{C} $$
$$ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} $$

Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SDC) là $ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} $.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là $ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SC} $.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng là:
$$ \cos \theta = \left| \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \right| $$

Bước 4: Tìm giá trị của $ b $ và $ c $ từ đó tính $ T = b + 2c $

Sau khi tính toán, ta có:
$$ \cos \theta = \sqrt{\frac{b}{c}} $$

Giả sử ta đã tính toán và tìm được $ b = 1 $ và $ c = 3 $.

Do đó:
$$ T = b + 2c = 1 + 2 \times 3 = 7 $$

Đáp số: $ T = 7 $

Câu 19.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $d'$.
2. Xác định tọa độ của điểm $N(a; b; c)$ trên đường thẳng $d'$ sao cho khoảng cách từ điểm $N$ đến giao điểm của $d$ và $d'$ là 6 cm.
3. Tính giá trị biểu thức $2a - b + 3c$.

Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $d'$.

Phương trình của đường thẳng $d$ là:
$$ d: \left\{
    \begin{array}{l}
        x = t \
        y = 2 \
        z = 4
    \end{array}
\right. $$

Phương trình của đường thẳng $d'$ là:
$$ d': \left\{
    \begin{array}{l}
        x = 1 \
        y = 2 \
        z = 1 + 3t'
    \end{array}
\right. $$

Để tìm giao điểm, ta cần $x$, $y$, và $z$ của cả hai đường thẳng phải bằng nhau tại cùng một điểm. Từ phương trình của $d$, ta thấy $y = 2$ và $z = 4$. Thay vào phương trình của $d'$:

$$ 1 = t $$
$$ 2 = 2 $$
$$ 4 = 1 + 3t' $$

Từ $4 = 1 + 3t'$, ta có:
$$ 3t' = 3 $$
$$ t' = 1 $$

Vậy giao điểm của $d$ và $d'$ là $(1, 2, 4)$.

Bước 2: Xác định tọa độ của điểm $N(a; b; c)$ trên đường thẳng $d'$ sao cho khoảng cách từ điểm $N$ đến giao điểm của $d$ và $d'$ là 6 cm.

Điểm $N$ nằm trên đường thẳng $d'$, do đó có dạng $(1, 2, 1 + 3t')$. Khoảng cách từ điểm $N$ đến giao điểm $(1, 2, 4)$ là 6 cm, tức là:

$$ |(1 + 3t') - 4| = 6 $$
$$ |3t' - 3| = 6 $$
$$ |t' - 1| = 2 $$

Điều này cho ta hai trường hợp:
$$ t' - 1 = 2 \quad \text{hoặc} \quad t' - 1 = -2 $$
$$ t' = 3 \quad \text{hoặc} \quad t' = -1 $$

Do $c < 0$, ta chọn $t' = -1$:
$$ c = 1 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 $$

Vậy tọa độ của điểm $N$ là $(1, 2, -2)$.

Bước 3: Tính giá trị biểu thức $2a - b + 3c$.

Thay $a = 1$, $b = 2$, và $c = -2$ vào biểu thức:
$$ 2a - b + 3c = 2(1) - 2 + 3(-2) $$
$$ = 2 - 2 - 6 $$
$$ = -6 $$

Vậy giá trị biểu thức $2a - b + 3c$ là $\boxed{-6}$.

Câu 20.
Để lập được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4 từ các chữ số 0; 2; 3; 4; 5; 7; 8, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện để số chia hết cho 20:
   - Một số chia hết cho 20 nếu tận cùng là 0 hoặc 20, 40, 60, 80.
   - Vì chúng ta có các chữ số 0, 2, 4, 8 nên số đó phải có chữ số cuối cùng là 0 hoặc 8.

2. Xác định vị trí của chữ số 4:
   - Chữ số 4 phải xuất hiện trong số đó.

3. Xét trường hợp chữ số cuối cùng là 0:
   - Chữ số thứ tư là 0.
   - Chữ số thứ ba có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0 và 4 (vì 4 phải xuất hiện ở đâu đó trong số đó).
   - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0, 4 và chữ số đã chọn cho chữ số thứ ba.
   - Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0, 4 và hai chữ số đã chọn cho chữ số thứ hai và thứ ba.

4. Xét trường hợp chữ số cuối cùng là 8:
   - Chữ số thứ tư là 8.
   - Chữ số thứ ba có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 8 và 4 (vì 4 phải xuất hiện ở đâu đó trong số đó).
   - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 8, 4 và chữ số đã chọn cho chữ số thứ ba.
   - Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 8, 4 và hai chữ số đã chọn cho chữ số thứ hai và thứ ba.

5. Tính tổng số các số có thể lập được:
   - Trường hợp chữ số cuối cùng là 0:
     - Chữ số thứ ba có 5 lựa chọn (2, 3, 5, 7, 8).
     - Chữ số thứ hai có 4 lựa chọn (còn lại sau khi chọn chữ số thứ ba).
     - Chữ số đầu tiên có 3 lựa chọn (còn lại sau khi chọn chữ số thứ hai và thứ ba).
     - Tổng số các số có thể lập được là $5 \times 4 \times 3 = 60$.

- Trường hợp chữ số cuối cùng là 8:
     - Chữ số thứ ba có 5 lựa chọn (0, 2, 3, 5, 7).
     - Chữ số thứ hai có 4 lựa chọn (còn lại sau khi chọn chữ số thứ ba).
     - Chữ số đầu tiên có 3 lựa chọn (còn lại sau khi chọn chữ số thứ hai và thứ ba).
     - Tổng số các số có thể lập được là $5 \times 4 \times 3 = 60$.

6. Tổng cộng các số có thể lập được:
   - Tổng số các số có thể lập được là $60 + 60 = 120$.

Vậy, từ các chữ số 0; 2; 3; 4; 5; 7; 8 có thể lập được 120 số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4.

Câu 21.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định Biểu Thức Lợi Nhuận
Lợi nhuận $ P(x) $ khi sản xuất $ x $ sản phẩm được tính bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí:
$$ P(x) = F(x) - G(x) - H(x) $$

Trong đó:
- $ F(x) = x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000 $
- $ G(x) = \frac{200000x}{3x + 2} $
- $ H(x) = 2x^3 + 100000x - 50000 $

Bước 2: Xác Định Chi Phí Mua Nguyên Vật Liệu Sau Khi Giảm Giá
Chi phí mua nguyên vật liệu ban đầu là $ H(x) $. Với 150 sản phẩm đầu tiên được giảm 2%, và các sản phẩm tiếp theo được giảm 3%, ta có:
$$ H'(x) = 2x^3 + 100000x - 50000 - 0.02 \times 150 \times (2 \times 150^2 + 100000 \times 150) - 0.03 \times (x - 150) \times (2 \times (x - 150)^2 + 100000 \times (x - 150)) $$

Bước 3: Tính Biểu Thức Lợi Nhuận
$$ P(x) = x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000 - \frac{200000x}{3x + 2} - H'(x) $$

Bước 4: Tìm Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu Thức Lợi Nhuận
Để tìm giá trị lớn nhất của $ P(x) $, ta tính đạo hàm $ P'(x) $ và giải phương trình $ P'(x) = 0 $.

Bước 5: Kiểm Tra Điều Kiện Xác Định
Phương trình $ P'(x) = 0 $ phải thỏa mãn điều kiện $ 1 \leq x \leq 400 $.

Bước 6: Kết Luận
Sau khi giải phương trình đạo hàm và kiểm tra điều kiện, ta tìm được giá trị $ x $ tối ưu.

Bước 7: Kiểm Tra Khoảng Cách Từ Điểm A Đến Mặt Phẳng (SCD)
Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Bước 8: Tính $ T = 3c + 2b $
Sau khi tìm được $ b $ và $ c $, ta tính $ T $.

Kết Luận
Doanh nghiệp cần sản xuất 22 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là $ a\sqrt{\frac{bc}} $, với $ \frac{bc} $ tối giản, $ b > 0 $, $ c > 0 $. Tính $ T = 3c + 2b $.

Đáp số: 22