làm đúng sai Xác suất để bạn An lấy được 1 viên bi màu đỏ và bạn Bình lấy được 1 viên bi màu xanh và 1 viên,bi màu đỏ là $\frac13.$,d) Biết rằng bạn Bình lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ, xác suất bạn An lấy được một viên bi màu đỏ,$\ln\frac{21}{38}.S$,Câu 2. Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với tốc độ v(t) (đơn vị: m/s) là hàm số phụ,thuộc thời gian t (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ.,,a) Tại thời điểm $t=19$ giây, tốc độ của chất điểm bằng 0 m/s.,b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng $24~m.S$,c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của v(t) là một phần của đường parabol.,Khi đó $y(t)=-t^2+30t+209(m/s).~Đ$,d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng $240~mớy$,Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I(2;0;0),$ bán kính $R=5$ và hai điểm,$A(0;2;1),~B(-2;4;2).$,a) Phương trình của mặt cầu (S) là $(x-2)^2+y^2+z^2=25.$ $0+1=3-2$,b) Độ dài $L=9~Đ$ $A=1,125$,c) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(Q):~x-y+z-3=0$ sao cho khoảng,cách từ I đến (P) đạt giá trị lớn nhất, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là $2x+y=z-1=0.$,d) Giả sử d là đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M,N . Gọi,$M(a;b;c)$ ) là điểm thỏa mãn $|MA-MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó ta có $2a-2b-c=-\frac{19}2$,Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$ có đồ thị (C). Khi đó,$a)~y^\prime=f^\prime(x)=\frac{-x^2-2x-2}{(x+1)^2},~yx-1,~\Phi$,b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y=-x+2.$,c) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng 4. 2),d) Trên đồ thị (C) có đúng 4 điểm M có tung độ và hoành độ là các số nguyên sao cho tiếp tuyến,của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 8.

Question

làm đúng sai Xác suất để bạn An lấy được 1 viên bi màu đỏ và bạn Bình lấy được 1 viên bi màu xanh và 1 viên,bi màu đỏ là $\frac13.$,d) Biết rằng bạn Bình lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ, xác suất bạn An lấy được một viên bi màu đỏ,$\ln\frac{21}{38}.S$,Câu 2. Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với tốc độ v(t) (đơn vị: m/s) là hàm số phụ,thuộc thời gian t (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/23c6023f986e45b98499a5a4bd44866d.jpg />,a) Tại thời điểm $t=19$ giây, tốc độ của chất điểm bằng 0 m/s.,b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng $24~m.S$,c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của v(t) là một phần của đường parabol.,Khi đó $y(t)=-t^2+30t+209(m/s).~Đ$,d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng $240~mớy$,Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I(2;0;0),$ bán kính $R=5$ và hai điểm,$A(0;2;1),~B(-2;4;2).$,a) Phương trình của mặt cầu (S) là $(x-2)^2+y^2+z^2=25.$ $0+1=3-2$,b) Độ dài $L=9~Đ$ $A=1,125$,c) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(Q):~x-y+z-3=0$ sao cho khoảng,cách từ I đến (P) đạt giá trị lớn nhất, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là $2x+y=z-1=0.$,d) Giả sử d là đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M,N . Gọi,$M(a;b;c)$ ) là điểm thỏa mãn $|MA-MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó ta có $2a-2b-c=-\frac{19}2$,Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$ có đồ thị (C). Khi đó,$a)~y^\prime=f^\prime(x)=\frac{-x^2-2x-2}{(x+1)^2},~yx-1,~\Phi$,b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y=-x+2.$,c) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng 4. 2),d) Trên đồ thị (C) có đúng 4 điểm M có tung độ và hoành độ là các số nguyên sao cho tiếp tuyến,của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 8.

Accepted Answer

Bài giải:

Câu 3:

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;0)$, bán kính $R=5$ và hai điểm $A(0;2;1)$, $B(-2;4;2)$.

a) Phương trình của mặt cầu $(S)$ là $(x-2)^2 + y^2 + z^2 = 25$.

Tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(2;0;0)$ và bán kính $R=5$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 + (z-z_I)^2 = R^2$.

Thay tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ vào, ta được:

$(x-2)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 5^2$

$(x-2)^2 + y^2 + z^2 = 25$.

Đây chính xác là phương trình đã cho.

Vậy, câu a) Đúng

b) Độ dài $IA = 9$.

Tọa độ điểm $I(2;0;0)$ và $A(0;2;1)$.

Độ dài đoạn thẳng $IA$ được tính bằng công thức:

$IA = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2}$

$IA = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2}$

$IA = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Độ dài $IA = 3$, không phải $9$.

Vậy, câu b) Sai

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x-y+z-3=0$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2x+y-z-1=0$.

Mặt phẳng $(Q)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (1;-1;1)$.

Gọi $\vec{n}_P = (A;B;C)$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì $(P) \perp (Q)$, nên $\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \Rightarrow A(1) + B(-1) + C(1) = 0 \Rightarrow A-B+C=0 \Rightarrow B = A+C$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;2;1)$, nên phương trình của $(P)$ có dạng:

$A(x-0) + B(y-2) + C(z-1) = 0$

$Ax + (A+C)(y-2) + C(z-1) = 0$.

Khoảng cách từ $I(2;0;0)$ đến $(P)$ là $d(I,(P)) = \frac{|A(2) + (A+C)(0-2) + C(0-1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

$d(I,(P)) = \frac{|2A - 2(A+C) - C|}{\sqrt{A^2+(A+C)^2+C^2}} = \frac{|2A - 2A - 2C - C|}{\sqrt{A^2+A^2+2AC+C^2+C^2}}$

$d(I,(P)) = \frac{|-3C|}{\sqrt{2A^2+2AC+2C^2}}$.

Để $d(I,(P))$ đạt giá trị lớn nhất, ta xét hàm số $f(t) = 2t^2+2t+2$ với $A=tC$ (do $C e 0$, nếu $C=0$ thì $d(I,(P))=0$, không phải max).

$d(I,(P)) = \frac{3|C|}{|C|\sqrt{2(A/C)^2+2(A/C)+2}} = \frac{3}{\sqrt{2(A/C)^2+2(A/C)+2}}$.

Để $d(I,(P))$ max thì $\sqrt{2(A/C)^2+2(A/C)+2}$ min.

Xét $g(t) = 2t^2+2t+2$ với $t=A/C$. Đỉnh parabol $t = -2/(2 \cdot 2) = -1/2$.

Vậy $A/C = -1/2 \Rightarrow A = -C/2$.

Chọn $C=2$, suy ra $A=-1$.

Khi đó $B = A+C = -1+2 = 1$.

Véctơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_P = (-1;1;2)$.

Phương trình của $(P)$ là: $-1(x-0) + 1(y-2) + 2(z-1) = 0$

$-x+y-2+2z-2=0 \Rightarrow -x+y+2z-4=0$ hay $x-y-2z+4=0$.

Với phương trình $x-y-2z+4=0$, khoảng cách từ $I(2;0;0)$ là:

$d(I,(P)) = \frac{|2-0-0+4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{6}{\sqrt{1+1+4}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.

Bây giờ ta kiểm tra mặt phẳng cho trước $2x+y-z-1=0$.

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}'_P = (2;1;-1)$.

Kiểm tra điều kiện vuông góc với $(Q)$: $\vec{n}'_P \cdot \vec{n}_Q = (2;1;-1) \cdot (1;-1;1) = 2(1)+1(-1)+(-1)(1) = 2-1-1=0$. (Đúng)

Kiểm tra điểm $A(0;2;1)$ thuộc mặt phẳng: $2(0)+2-1-1 = 0+2-1-1=0$. (Đúng)

Tính khoảng cách từ $I(2;0;0)$ đến mặt phẳng $2x+y-z-1=0$:

$d(I,(P)) = \frac{|2(2)+0-0-1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{|4-1|}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Vì $\sqrt{6} > \frac{\sqrt{6}}{2}$, nên mặt phẳng $2x+y-z-1=0$ không phải là mặt phẳng cho khoảng cách lớn nhất.

Vậy, câu c) Sai.

d) Giả sử $d$ là đường thẳng thay đổi đi qua $A$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $|MA-MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó ta có $2a-2b-c = -\frac{19}{2}$.

Để $|MA-MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất, điểm $M$ phải nằm trên đường thẳng $AB$.

Tính độ dài đoạn thẳng $AB$:

$AB = \sqrt{(-2-0)^2 + (4-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(0;2;1)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{AB} = (-2;2;1)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $AB$:

$x = -2t$

$y = 2+2t$

$z = 1+t$

Thay các tọa độ này vào phương trình mặt cầu $(S)$: $(x-2)^2 + y^2 + z^2 = 25$.

$(-2t-2)^2 + (2+2t)^2 + (1+t)^2 = 25$

$4(t+1)^2 + 4(t+1)^2 + (t+1)^2 = 25$

$9(t+1)^2 = 25$

$(t+1)^2 = \frac{25}{9}$

$t+1 = \pm \frac{5}{3}$.

Trường hợp 1: $t+1 = \frac{5}{3} \Rightarrow t = \frac{2}{3}$.

Điểm $M_1$: $x = -2(\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$; $y = 2+2(\frac{2}{3}) = 2+\frac{4}{3} = \frac{10}{3}$; $z = 1+\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

$M_1(-\frac{4}{3}; \frac{10}{3}; \frac{5}{3})$.

Trường hợp 2: $t+1 = -\frac{5}{3} \Rightarrow t = -\frac{8}{3}$.

Điểm $M_2$: $x = -2(-\frac{8}{3}) = \frac{16}{3}$; $y = 2+2(-\frac{8}{3}) = 2-\frac{16}{3} = -\frac{10}{3}$; $z = 1-\frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$.

$M_2(\frac{16}{3}; -\frac{10}{3}; -\frac{5}{3})$.

Hai điểm $M_1, M_2$ là các giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt cầu $(S)$.

Giá trị nhỏ nhất của $|MA-MB|$ đạt được khi $M$ nằm trên đường thẳng $AB$. Ta cần tìm điểm $M$ (trong hai điểm $M_1, M_2$) sao cho $|MA-MB|$ nhỏ nhất.

Tính $|M_1A-M_1B|$:

$M_1A = \sqrt{(-\frac{4}{3}-0)^2 + (\frac{10}{3}-2)^2 + (\frac{5}{3}-1)^2} = \sqrt{(\frac{-4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2$.

$M_1B = \sqrt{(-\frac{4}{3}-(-2))^2 + (\frac{10}{3}-4)^2 + (\frac{5}{3}-2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{-2}{3})^2 + (\frac{-1}{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = \sqrt{1} = 1$.

$|M_1A-M_1B| = |2-1| = 1$.

Tính $|M_2A-M_2B|$:

$M_2A = \sqrt{(\frac{16}{3}-0)^2 + (-\frac{10}{3}-2)^2 + (-\frac{5}{3}-1)^2} = \sqrt{(\frac{16}{3})^2 + (\frac{-16}{3})^2 + (\frac{-8}{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{256}{9} + \frac{256}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{576}{9}} = \sqrt{64} = 8$.

$M_2B = \sqrt{(\frac{16}{3}-(-2))^2 + (-\frac{10}{3}-4)^2 + (-\frac{5}{3}-2)^2} = \sqrt{(\frac{22}{3})^2 + (\frac{-22}{3})^2 + (\frac{-11}{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{484}{9} + \frac{484}{9} + \frac{121}{9}} = \sqrt{\frac{1089}{9}} = \sqrt{121} = 11$.

$|M_2A-M_2B| = |8-11| = 3$.

So sánh $1$ và $3$, giá trị nhỏ nhất là $1$, đạt được tại $M(-\frac{4}{3}; \frac{10}{3}; \frac{5}{3})$.

Vậy $a = -\frac{4}{3}$, $b = \frac{10}{3}$, $c = \frac{5}{3}$.

Tính $2a-2b-c$:

$2(-\frac{4}{3}) - 2(\frac{10}{3}) - \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} - \frac{20}{3} - \frac{5}{3} = \frac{-8-20-5}{3} = \frac{-33}{3} = -11$.

Giá trị tính được là $-11$, không phải $-\frac{19}{2}$.

Vậy, câu d) Sai.

Câu 4:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{-x^2+x-2}{x+1}$.

a) $y' = f'(x) = \frac{-x^2-2x-2}{(x+1)^2}, \forall x eq -1$.

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Đặt $u = -x^2+x-2 \Rightarrow u' = -2x+1$.

Đặt $v = x+1 \Rightarrow v' = 1$.

$y' = \frac{(-2x+1)(x+1) - (-x^2+x-2)(1)}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{(-2x^2-2x+x+1) - (-x^2+x-2)}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^2-x+1 + x^2-x+2}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{-x^2-2x+3}{(x+1)^2}$.

Đạo hàm tính được là $\frac{-x^2-2x+3}{(x+1)^2}$, khác với $\frac{-x^2-2x-2}{(x+1)^2}$.

Vậy, câu a) Sai.

b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y=-x+2$.

Thực hiện phép chia đa thức:

$y = \frac{-x^2+x-2}{x+1} = \frac{-x(x+1) + 2x-2}{x+1} = -x + \frac{2x-2}{x+1}$

$y = -x + \frac{2(x+1)-4}{x+1} = -x + 2 - \frac{4}{x+1}$.

Khi $x o \pm \infty$, $\frac{-4}{x+1} o 0$.

Vậy, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = -x+2$.

Vậy, câu b) Đúng.

c) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$ bằng $4$.

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $y'=0$.

$y' = \frac{-x^2-2x+3}{(x+1)^2} = 0 \Rightarrow -x^2-2x+3=0$

$\Leftrightarrow x^2+2x-3=0$.

$\Delta' = 1^2 - 1(-3) = 1+3=4$.

$x_1 = \frac{-1+\sqrt{4}}{1} = -1+2=1$.

$x_2 = \frac{-1-\sqrt{4}}{1} = -1-2=-3$.

Tìm tung độ tương ứng:

Với $x_1=1$: $y_1 = \frac{-1^2+1-2}{1+1} = \frac{-1+1-2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Điểm cực trị thứ nhất $M_1(1;-1)$.

Với $x_2=-3$: $y_2 = \frac{-(-3)^2+(-3)-2}{-3+1} = \frac{-9-3-2}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7$.

Điểm cực trị thứ hai $M_2(-3;7)$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $M_1(1;-1)$ và $M_2(-3;7)$ là:

$d(M_1,M_2) = \sqrt{(-3-1)^2 + (7-(-1))^2}$

$d(M_1,M_2) = \sqrt{(-4)^2 + (8)^2}$

$d(M_1,M_2) = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là $4\sqrt{5}$, không phải $4$.

Vậy, câu c) Sai.

d) Trên đồ thị $(C)$ có đúng 4 điểm $M$ có tung độ và hoành độ là các số nguyên sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ tạo với hai đường tiệm cận của $(C)$ một tam giác có diện tích bằng $8$.

Ta có hàm số có dạng $y = -x+2 - \frac{4}{x+1}$. Đây là hàm số có dạng $y = ax+b + \frac{k}{x-x_0}$.

Tiệm cận xiên là $d_1: y = -x+2$.

Tiệm cận đứng là $d_2: x = -1$.

Đối với hàm số dạng $y = ax+b + \frac{k}{x-x_0}$, diện tích của tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên đồ thị với hai đường tiệm cận là một hằng số và bằng $2|k|$.

Trong trường hợp này, $k = -4$.

Vậy diện tích tam giác là $2|-4| = 8$.

Điều này có nghĩa là *tất cả* các điểm $M$ trên đồ thị $(C)$ đều thỏa mãn điều kiện về diện tích tam giác.

Bây giờ ta cần tìm các điểm $M(x_0, y_0)$ trên đồ thị $(C)$ sao cho $x_0$ và $y_0$ là các số nguyên.

Ta có $y_0 = -x_0+2 - \frac{4}{x_0+1}$.

Để $y_0$ là số nguyên, do $-x_0+2$ là số nguyên (vì $x_0$ là số nguyên), thì $\frac{4}{x_0+1}$ phải là số nguyên.

Điều này có nghĩa là $x_0+1$ phải là ước của $4$.

Các ước của $4$ là: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

1. $x_0+1 = 1 \Rightarrow x_0=0$. $y_0 = -0+2 - \frac{4}{1} = 2-4=-2$. $M_1(0;-2)$. (Là điểm nguyên)

2. $x_0+1 = -1 \Rightarrow x_0=-2$. $y_0 = -(-2)+2 - \frac{4}{-1} = 2+2+4=8$. $M_2(-2;8)$. (Là điểm nguyên)

3. $x_0+1 = 2 \Rightarrow x_0=1$. $y_0 = -1+2 - \frac{4}{2} = 1-2=-1$. $M_3(1;-1)$. (Là điểm nguyên)

4. $x_0+1 = -2 \Rightarrow x_0=-3$. $y_0 = -(-3)+2 - \frac{4}{-2} = 3+2+2=7$. $M_4(-3;7)$. (Là điểm nguyên)

5. $x_0+1 = 4 \Rightarrow x_0=3$. $y_0 = -3+2 - \frac{4}{4} = -1-1=-2$. $M_5(3;-2)$. (Là điểm nguyên)

6. $x_0+1 = -4 \Rightarrow x_0=-5$. $y_0 = -(-5)+2 - \frac{4}{-4} = 5+2+1=8$. $M_6(-5;8)$. (Là điểm nguyên)

Có tổng cộng $6$ điểm $M$ có tung độ và hoành độ là các số nguyên.

Phát biểu cho rằng có đúng $4$ điểm $M$ là sai.

Vậy, câu d) Sai.

Kết luận tổng hợp:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai