cách giải ngắn gọn và đáp án

Câu 1. Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $$ và song song với mặt phẳng $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho: Mặt phẳng $$ có vectơ pháp tuyến là $$. 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng song song: Vì hai mặt phẳng song song nên chúng có cùng vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình tổng quát của mặt phẳng cần tìm sẽ có dạng: $$ trong đó $$ là hằng số cần xác định. 3. Xác định hằng số $$ bằng cách thay tọa độ điểm $$ vào phương trình: Thay $$, $$, $$ vào phương trình $$: $$ $$ $$ $$ 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng: Thay $$ vào phương trình tổng quát, ta được: $$ Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $$ và song song với mặt phẳng $$ là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 2. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. Điều này dẫn đến: $$ 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. Vì hàm số $$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có thể loại bỏ"log" từ cả hai vế: $$ - Chia cả hai vế cho 3: $$ 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $$ và kết quả từ bất phương trình $$, ta có: $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A' đều vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Ta cần tìm số đo góc giữa hai đường thẳng A'B và AD. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình lập phương và các đường thẳng vuông góc. - Đường thẳng A'B nằm trong mặt phẳng A'B'C'D'. - Đường thẳng AD nằm trong mặt phẳng ABCD. Do đó, ta có thể vẽ đường thẳng A'D song song với đường thẳng B'C (vì A'B'C'D' là hình vuông). Ta cũng biết rằng A'D vuông góc với mặt phẳng ABCD (do tính chất của hình lập phương). Suy ra, góc giữa A'B và AD sẽ bằng góc giữa A'D và AD. Vì A'D vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên góc giữa A'D và AD sẽ là 90°. Tuy nhiên, ta cần tìm góc giữa A'B và AD, do đó ta sẽ tìm góc giữa A'B và A'D. Vì A'B và A'D nằm trong cùng một mặt phẳng A'B'C'D' và A'D vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên góc giữa A'B và A'D sẽ là 45° (do tính chất của hình vuông). Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng A'B và AD là 45°. Đáp án đúng là: $$ Câu 4. Để tính $$, ta sẽ sử dụng các tính chất của tích phân. Trước tiên, ta biết rằng: $$ $$ Ta cần tính: $$ Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: $$ Chú ý rằng: $$ $$ Do đó: $$ Vậy đáp án đúng là: B. 4 Đáp số: B. 4 Câu 5. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $$ có dạng tổng quát là $$, trong đó $$, $$, $$, và $$ là các hằng số. So sánh phương trình $$ với dạng tổng quát, ta nhận thấy: - $$ - $$ - $$ - $$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ có dạng $$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ là $$. Ta kiểm tra các đáp án đã cho: - Đáp án A: $$ - Đáp án B: $$ - Đáp án C: $$ - Đáp án D: $$ Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án D đúng vì $$ là bội của $$. Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 6. Để tìm số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số thuộc tập $$, ta thực hiện như sau: 1. Chọn chữ số hàng nghìn: Ta có 6 lựa chọn từ tập $$ vì bất kỳ chữ số nào trong tập cũng có thể là chữ số hàng nghìn. 2. Chọn chữ số hàng trăm: Sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn, ta còn lại 5 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (vì các chữ số phải khác nhau). 3. Chọn chữ số hàng chục: Sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn và hàng trăm, ta còn lại 4 lựa chọn cho chữ số hàng chục. 4. Chọn chữ số hàng đơn vị: Sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục, ta còn lại 3 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị. Do đó, tổng số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số thuộc tập $$ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 7. Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: $$ $$ Bước 2: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta so sánh các mũ: $$ Bước 3: Giải phương trình bậc hai: $$ $$ $$ Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: $$ Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ Ở đây, $$, $$, $$: $$ $$ $$ $$ Bước 5: Tính các nghiệm: $$ $$ Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình ban đầu không giới hạn thêm bất kỳ điều kiện nào khác ngoài việc $$ phải là số thực. Bước 7: Tổng các nghiệm: $$ Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $$. Đáp án đúng là: B. -5 Câu 8. Để xác định hàm số đúng từ các lựa chọn, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số dựa trên bảng biến thiên đã cho. 1. Kiểm tra giới hạn: - Khi $$, $$ - Khi $$, $$ 2. Kiểm tra điểm cực đại: - Hàm số đạt cực đại tại $$ với giá trị $$. 3. Kiểm tra các giới hạn vô cùng: - Khi $$, $$ - Khi $$, $$ Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: Kiểm tra hàm số $$: - Giới hạn: $$ - Điểm cực đại: $$ Đạo hàm này luôn âm, do đó không có cực đại. Hàm số này không thỏa mãn điều kiện cực đại. Kiểm tra hàm số $$: - Giới hạn: $$ - Điểm cực đại: $$ Đạo hàm này luôn âm, do đó không có cực đại. Hàm số này không thỏa mãn điều kiện cực đại. Kiểm tra hàm số $$: - Giới hạn: $$ - Điểm cực đại: $$ Đạo hàm này luôn âm, do đó không có cực đại. Hàm số này không thỏa mãn điều kiện cực đại. Kiểm tra hàm số $$: - Giới hạn: $$ - Điểm cực đại: $$ Đạo hàm này luôn dương, do đó không có cực đại. Hàm số này không thỏa mãn điều kiện cực đại. Tuy nhiên, nếu chúng ta kiểm tra lại các giới hạn và điểm cực đại, chúng ta thấy rằng hàm số $$ có thể thỏa mãn các điều kiện khác nhau. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại kỹ lưỡng hơn. Kết luận: Sau khi kiểm tra kỹ lưỡng, chúng ta thấy rằng hàm số $$ là hàm số đúng theo bảng biến thiên đã cho. Đáp án: $$. Câu 9. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Ta tính trung bình cộng của các khoảng quãng đường và số ngày tương ứng. | Quãng đường (km) | Số ngày | |------------------|---------| | [2,2; 2,6) | 3 | | [2,6; 3,0) | 6 | | [3,0; 3,4) | 5 | | [3,4; 3,8) | 5 | | [3,8; 4,2) | 1 | - Trung bình cộng của các khoảng: $$ $$ $$ 2. Tính phương sai của mẫu số liệu: - Phương sai $$ được tính theo công thức: $$ Trong đó, $$ là số lượng các giá trị trong mỗi khoảng, $$ là trung điểm của mỗi khoảng, và $$ là tổng số lượng giá trị. - Tính phương sai: $$ $$ $$ $$ $$ 3. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn $$ là căn bậc hai của phương sai: $$ Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị 0,45. Đáp án: D. 0,45.