help meeeeee

keuusi Câu 24. Tìm số giá trị nguyên của mmm để hàm số đồng biến trên R\mathbb{R}R

Cho:

y=13(m2−m)x3+2mx2+3x−2y = \frac{1}{3}(m^2 - m)x^3 + 2mx^2 + 3x - 2y=31​(m2−m)x3+2mx2+3x−2Hàm số đồng biến trên R\mathbb{R}R nghĩa là đạo hàm phải không âm mọi x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R:

Tính đạo hàm:

y′=(m2−m)x2+4mx+3y' = (m^2 - m)x^2 + 4mx + 3y′=(m2−m)x2+4mx+3Đặt:

• y′(x)=(m2−m)x2+4mx+3≥0,∀x∈Ry'(x) = (m^2 - m)x^2 + 4mx + 3 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}y′(x)=(m2−m)x2+4mx+3≥0,∀x∈RĐể bậc 2 luôn không âm, cần hệ số a=m2−m≥0a = m^2 - m \ge 0a=m2−m≥0 và phương trình vô nghiệm (hoặc nghiệm kép)
• Xét:

1. m2−m=0⇒m=0m^2 - m = 0 \Rightarrow m = 0m2−m=0⇒m=0 hoặc m=1m = 1m=1

• Với m=0⇒y′=3>0m = 0 \Rightarrow y' = 3 > 0m=0⇒y′=3>0: thoả
• Với m=1⇒y′=4x+3m = 1 \Rightarrow y' = 4x + 3m=1⇒y′=4x+3: có nghiệm (vì là bậc 1), nhưng không luôn dương

2. Với m≠0,1m \ne 0,1m=0,1, điều kiện để nhị thức bậc hai luôn không âm:

Δ′=(2m)2−(m2−m)⋅3<0⇒4m2−3m2+3m=m2+3m<0⇒m(m+3)<0⇒−3<m<0\Delta' = (2m)^2 - (m^2 - m) \cdot 3 < 0 \Rightarrow 4m^2 - 3m^2 + 3m = m^2 + 3m < 0 \Rightarrow m(m + 3) < 0 \Rightarrow -3 < m < 0Δ′=(2m)2−(m2−m)⋅3<0⇒4m2−3m2+3m=m2+3m<0⇒m(m+3)<0⇒−3<m<0Vậy các giá trị nguyên thoả:

• m=−2,−1m = -2, -1m=−2,−1
• Cộng thêm m=0m = 0m=0 (đã xét ở trên)

Có 3 giá trị nguyên: -2, -1, 0

→ Đáp án đúng: C. 3

Câu 25. Tìm mmm để hàm số luôn đồng biến trên R\mathbb{R}R

Hàm số:

y=mx3+mx2+m(m−1)x+2⇒y′=3mx2+2mx+m(m−1)y = mx^3 + mx^2 + m(m - 1)x + 2 \Rightarrow y' = 3mx^2 + 2mx + m(m - 1)y=mx3+mx2+m(m−1)x+2⇒y′=3mx2+2mx+m(m−1)Tương tự câu 24, yêu cầu:

• y′(x)≥0,∀x∈Ry'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}y′(x)≥0,∀x∈Rm=0⇒y′=0⇒haˋmha˘ˋng⇒đo^ˋngbie^ˊn⇒nhậnm = 0 \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow hàm hằng \Rightarrow đồng biến \Rightarrow nhậnm=0⇒y′=0⇒haˋmha˘ˋng⇒đo^ˋngbie^ˊn⇒nhận
• Với m≠0m \ne 0m=0, hệ số bậc hai a=3m>0a = 3m > 0a=3m>0 ⇒ cần m>0m > 0m>0
• Đồng thời:

Δ=4m2−12m(m−1)=4m2−12m2+12m=−8m2+12m<0⇒−8m2+12m<0⇒m(−8m+12)<0⇒0<m<32\Delta = 4m^2 - 12m(m - 1) = 4m^2 - 12m^2 + 12m = -8m^2 + 12m < 0 \Rightarrow -8m^2 + 12m < 0 \Rightarrow m( -8m + 12) < 0 \Rightarrow 0 < m < \frac{3}{2}Δ=4m2−12m(m−1)=4m2−12m2+12m=−8m2+12m<0⇒−8m2+12m<0⇒m(−8m+12)<0⇒0<m<23​Gộp lại: m=0m = 0m=0 hoặc 0<m<320 < m < \frac{3}{2}0<m<23​

→ Tất cả mmm để hàm luôn đồng biến:

m=0hoặc0<m<43⇒m=0 hoặc m≥43m = 0 \quad \text{hoặc} \quad 0 < m < \frac{4}{3} \Rightarrow \boxed{m = 0 \text{ hoặc } m \ge \frac{4}{3}}m=0hoặc0<m<34​⇒m=0 hoặc m≥34​​→ Đáp án đúng: B

Câu 26. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R\mathbb{R}R

Hàm số:

y=−13x3+mx2+(3m+2)x+1⇒y′=−x2+2mx+3m+2y = -\frac{1}{3}x^3 + mx^2 + (3m + 2)x + 1 \Rightarrow y' = -x^2 + 2mx + 3m + 2y=−31​x3+mx2+(3m+2)x+1⇒y′=−x2+2mx+3m+2Yêu cầu hàm nghịch biến trên R\mathbb{R}R ⇔ y′(x)≤0 ∀x∈Ry'(x) \le 0 \, \forall x \in \mathbb{R}y′(x)≤0∀x∈R

• Hệ số bậc hai âm: OK (−1)
• Bất phương trình bậc hai luôn âm ⇔ Δ<0\Delta < 0Δ<0

Δ=(2m)2−4⋅(−1)⋅(3m+2)=4m2+12m+8<0⇒m2+3m+2<0⇒−2<m<−1\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (3m + 2) = 4m^2 + 12m + 8 < 0 \Rightarrow m^2 + 3m + 2 < 0 \Rightarrow -2 < m < -1Δ=(2m)2−4⋅(−1)⋅(3m+2)=4m2+12m+8<0⇒m2+3m+2<0⇒−2<m<−1→ Đáp án đúng: C. −2<m<−1-2 < m < -1−2<m<−1