Tttttttttttttttttttttttt $A.~(2;+\infty).$ $B.~(0;2)$ $C.~(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$ $D.~(-\infty;0)$,Câu 13: Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ nghịch biến trên,$A.~\mathbb{R}\setminus\{-3\}.$ B. R. $C.~(-\infty;-3).$ $D.~(3;+\infty)$ Câu 21: Cho hàm số $\overline{f(x)}$ có bảng biến thiên như sau:,,Câu 14: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên D ?,$A.~y=x^3-3x+2.$ $B.~y=x^4+2x^2+2.$,$C.~y=-x^3+2x^2-4x+1.$ $D.~y=-x^3-2x^2+5x-2.$ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;-1).$ $B.~(0;1).$ $C.~(-1;1).$ $D.~(-1;0)$,Câu 22: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau,,Câu 15: Hàm số $y=-x^3+3x^2-2$ đồng biến trên khoảng,$A.~(0;2).$ $B.~(-\infty;0).$ $C.~(1;4).$ $D.~(4;+\infty).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$,B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$,Câu 16: Hàm số $y=x^4-4x^3$ đồng biến trên khoảng D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$,$A.~(-\infty;+\infty).$ $B.~(3;+\infty).$ $C.~(-1;+\infty)$ $D.~(-\infty;0).$ Câu 23: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến,trên khoảng nào dưới đây?,,Câu 17: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên R và có đạo hàm $f^\prime(x)=(1-x)^2(x+1)^2(3-x).$ . Hàm số $A.~(1;+\infty).$ $B.~(-\infty;1)$ $C.~(-1;+\infty).$,$y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? $(-\infty;-1).$,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(1;3).$ $D.~(3;+\infty).$ Câu 24: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau,,Câu 18: Hàm số $y=\frac13x^3-x^2-3x+2019$ nghịch biến trên Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-1;3).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(-\infty;-1)$ v và $(3;+\infty).$ $D.~(3;+\infty).$ $A.~(-1;0)$ $B.~(-\infty;0)$ $C.~(1;+\infty)$ $D.~(0;1)$,Câu 25: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?,,Câu 19: Hàm số $y=\sqrt{2018x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?,$A.~(1010;2018).$ $B.~(2018;+\infty).$ $C.~(0;1009).$ $D.~(1;2018).$,A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\frac12;+\infty).$,B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty;3)$,Câu 20: Hàm số $y=-x^3+3x^2-4$ đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty)$ $(-\infty;-\frac\lambda2)$,D. Hăm 42' đa. cho nghĩch biến tuỆn Jckeda và $(3;+\infty)$,4

Question

Tttttttttttttttttttttttt $A.~(2;+\infty).$ $B.~(0;2)$ $C.~(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$ $D.~(-\infty;0)$,Câu 13: Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ nghịch biến trên,$A.~\mathbb{R}\setminus\{-3\}.$ B. R. $C.~(-\infty;-3).$ $D.~(3;+\infty)$ Câu 21: Cho hàm số $\overline{f(x)}$ có bảng biến thiên như sau:,

,Câu 14: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên D ?,$A.~y=x^3-3x+2.$ $B.~y=x^4+2x^2+2.$,$C.~y=-x^3+2x^2-4x+1.$ $D.~y=-x^3-2x^2+5x-2.$ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;-1).$ $B.~(0;1).$ $C.~(-1;1).$ $D.~(-1;0)$,Câu 22: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau,

,Câu 15: Hàm số $y=-x^3+3x^2-2$ đồng biến trên khoảng,$A.~(0;2).$ $B.~(-\infty;0).$ $C.~(1;4).$ $D.~(4;+\infty).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$,B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$,Câu 16: Hàm số $y=x^4-4x^3$ đồng biến trên khoảng D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$,$A.~(-\infty;+\infty).$ $B.~(3;+\infty).$ $C.~(-1;+\infty)$ $D.~(-\infty;0).$ Câu 23: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến,trên khoảng nào dưới đây?,

,Câu 17: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên R và có đạo hàm $f^\prime(x)=(1-x)^2(x+1)^2(3-x).$ . Hàm số $A.~(1;+\infty).$ $B.~(-\infty;1)$ $C.~(-1;+\infty).$,$y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? $(-\infty;-1).$,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(1;3).$ $D.~(3;+\infty).$ Câu 24: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau,

,Câu 18: Hàm số $y=\frac13x^3-x^2-3x+2019$ nghịch biến trên Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-1;3).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(-\infty;-1)$ v và $(3;+\infty).$ $D.~(3;+\infty).$ $A.~(-1;0)$ $B.~(-\infty;0)$ $C.~(1;+\infty)$ $D.~(0;1)$,Câu 25: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?,

,Câu 19: Hàm số $y=\sqrt{2018x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?,$A.~(1010;2018).$ $B.~(2018;+\infty).$ $C.~(0;1009).$ $D.~(1;2018).$,A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\frac12;+\infty).$,B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty;3)$,Câu 20: Hàm số $y=-x^3+3x^2-4$ đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty)$ $(-\infty;-\frac\lambda2)$,D. Hăm 42' đa. cho nghĩch biến tuỆn Jckeda và $(3;+\infty)$,4

Accepted Answer

Câu 13: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \frac{5 - 2x}{x + 3} $, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm mà đạo hàm âm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ y = \frac{5 - 2x}{x + 3} $. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Ở đây, $ u = 5 - 2x $ và $ v = x + 3 $. Tính đạo hàm của $ u $ và $ v $: $$ u' = -2 $$ $$ v' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(-2)(x + 3) - (5 - 2x)(1)}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x - 6 - 5 + 2x}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-11}{(x + 3)^2} $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $ y' $. Ta thấy rằng $ (x + 3)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -3 $. Do đó, $ y' = \frac{-11}{(x + 3)^2} < 0 $ với mọi $ x \neq -3 $. Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến của hàm số. Vì đạo hàm $ y' < 0 $ với mọi $ x \neq -3 $, hàm số $ y = \frac{5 - 2x}{x + 3} $ nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó, ngoại trừ điểm $ x = -3 $. Do đó, hàm số nghịch biến trên $ \mathbb{R} \setminus \{-3\} $. Đáp án đúng là: $ A.~\mathbb{R}\setminus\{-3\} $. Câu 21: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $\overline{f(x)}$, ta có thể suy ra các tính chất và hành vi của hàm số như sau: 1. Giới hạn tại vô cực: - Khi $x \to -\infty$, $\overline{f(x)} \to -\infty$. - Khi $x \to +\infty$, $\overline{f(x)} \to +\infty$. 2. Điểm cực đại và cực tiểu: - Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị cực đại là $\overline{f(-1)} = 4$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ với giá trị cực tiểu là $\overline{f(1)} = 0$. 3. Điểm uốn: - Hàm số có điểm uốn tại $x = 0$. Tại đây, đồ thị hàm số thay đổi từ lõm xuống sang lõm lên hoặc ngược lại. 4. Đạo hàm: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng đạo hàm $\overline{f'(x)}$ thay đổi dấu từ âm sang dương tại $x = -1$ và từ dương sang âm tại $x = 1$. Điều này xác nhận các điểm cực đại và cực tiểu đã nêu ở trên. - Đạo hàm $\overline{f'(x)}$ bằng 0 tại $x = -1$ và $x = 1$. 5. Hành vi tăng giảm: - Hàm số $\overline{f(x)}$ giảm trên khoảng $(-\infty, -1)$. - Hàm số $\overline{f(x)}$ tăng trên khoảng $(-1, 1)$. - Hàm số $\overline{f(x)}$ giảm trên khoảng $(1, +\infty)$. 6. Điểm cắt trục tọa độ: - Hàm số cắt trục hoành tại điểm $(1, 0)$. - Hàm số cắt trục tung tại điểm $(0, 2)$. Tóm lại, từ bảng biến thiên, ta đã xác định được các tính chất quan trọng của hàm số $\overline{f(x)}$, bao gồm giới hạn, cực đại, cực tiểu, điểm uốn, hành vi tăng giảm và các điểm cắt trục tọa độ. Câu 14: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của các hàm số đã cho để xác định hàm số nào nghịch biến trên toàn bộ miền xác định (D) và hàm số nào đồng biến trên các khoảng đã cho. Bước 1: Xác định tính chất của các hàm số A. $ y = x^3 - 3x + 2 $ - Ta tính đạo hàm: $ y' = 3x^2 - 3 $ - Đặt $ y' = 0 $: $ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $ - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - $ y' > 0 $ khi $ x < -1 $ hoặc $ x > 1 $ - $ y' < 0 $ khi $ -1 < x < 1 $ Như vậy, hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ miền xác định. B. $ y = x^4 + 2x^2 + 2 $ - Ta tính đạo hàm: $ y' = 4x^3 + 4x $ - Đặt $ y' = 0 $: $ 4x(x^2 + 1) = 0 \Rightarrow x = 0 $ - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - $ y' > 0 $ khi $ x > 0 $ - $ y' < 0 $ khi $ x < 0 $ Như vậy, hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ miền xác định. C. $ y = -x^3 + 2x^2 - 4x + 1 $ - Ta tính đạo hàm: $ y' = -3x^2 + 4x - 4 $ - Ta thấy rằng $ y' = -3x^2 + 4x - 4 $ luôn luôn âm vì $ -3x^2 + 4x - 4 $ là một tam thức bậc hai có hệ số $ a = -3 < 0 $ và $ \Delta = 16 - 48 = -32 < 0 $. Như vậy, hàm số này nghịch biến trên toàn bộ miền xác định. D. $ y = -x^3 - 2x^2 + 5x - 2 $ - Ta tính đạo hàm: $ y' = -3x^2 - 4x + 5 $ - Đặt $ y' = 0 $: $ -3x^2 - 4x + 5 = 0 $ - Giải phương trình bậc hai: $ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 60}}{-6} = \frac{-4 \pm 8}{-6} \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -\frac{5}{3} $ - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - $ y' > 0 $ khi $ -\frac{5}{3} < x < 1 $ - $ y' < 0 $ khi $ x < -\frac{5}{3} $ hoặc $ x > 1 $ Như vậy, hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ miền xác định. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định là $ y = -x^3 + 2x^2 - 4x + 1 $. Bước 2: Xác định khoảng đồng biến của hàm số $ y = -x^3 - 2x^2 + 5x - 2 $ Ta đã biết rằng đạo hàm của hàm số này là $ y' = -3x^2 - 4x + 5 $ và nó dương trong khoảng $ -\frac{5}{3} < x < 1 $. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\frac{5}{3}, 1) $. Trong các lựa chọn đã cho, khoảng $ (-1, 0) $ nằm trong khoảng $ (-\frac{5}{3}, 1) $. Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-1, 0) $. Đáp án: - Hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định: $ C.~y = -x^3 + 2x^2 - 4x + 1 $ - Hàm số đồng biến trên khoảng: $ D.~(-1;0) $ Câu 22: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các tính chất về tăng giảm và cực trị của hàm số như sau: 1. Tính chất tăng giảm: - Khi đạo hàm $f'(x) > 0$, hàm số $y = f(x)$ là hàm số đồng biến trên khoảng đó. - Khi đạo hàm $f'(x) < 0$, hàm số $y = f(x)$ là hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Từ bảng xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng $(-\infty, -2)$, ta thấy $f'(x) < 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(-2, 1)$, ta thấy $f'(x) > 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, ta thấy $f'(x) < 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng này. 2. Cực trị của hàm số: - Điểm cực đại xảy ra tại điểm mà đạo hàm chuyển từ dương sang âm. - Điểm cực tiểu xảy ra tại điểm mà đạo hàm chuyển từ âm sang dương. Từ bảng xét dấu đạo hàm: - Tại $x = -2$, đạo hàm chuyển từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm này. - Tại $x = 1$, đạo hàm chuyển từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm này. Kết luận: - Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -2)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2, 1)$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$. - Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. Câu 15: Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 + 3x^2 - 2) = -3x^2 + 6x $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: $$ y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2) $$ Ta thấy rằng: - $y' > 0$ khi $-3x(x - 2) > 0$ - Điều này xảy ra khi $x(x - 2) < 0$ Giải bất phương trình $x(x - 2) < 0$: - Ta có hai nghiệm $x = 0$ và $x = 2$. - Xét dấu của $x(x - 2)$ trên các khoảng $( -\infty, 0 )$, $( 0, 2 )$, và $( 2, +\infty )$: - Trên khoảng $( -\infty, 0 )$: $x < 0$ và $x - 2 < 0$, do đó $x(x - 2) > 0$. - Trên khoảng $( 0, 2 )$: $x > 0$ và $x - 2 < 0$, do đó $x(x - 2) < 0$. - Trên khoảng $( 2, +\infty )$: $x > 0$ và $x - 2 > 0$, do đó $x(x - 2) > 0$. Vậy $y' > 0$ trên khoảng $(0, 2)$, tức là hàm số đồng biến trên khoảng $(0, 2)$. 3. Xác định khoảng nghịch biến: - $y' < 0$ khi $-3x(x - 2) < 0$ - Điều này xảy ra khi $x(x - 2) > 0$ Giải bất phương trình $x(x - 2) > 0$: - Trên khoảng $( -\infty, 0 )$: $x < 0$ và $x - 2 < 0$, do đó $x(x - 2) > 0$. - Trên khoảng $( 2, +\infty )$: $x > 0$ và $x - 2 > 0$, do đó $x(x - 2) > 0$. Vậy $y' < 0$ trên các khoảng $( -\infty, 0 )$ và $( 2, +\infty )$, tức là hàm số nghịch biến trên các khoảng $( -\infty, 0 )$ và $( 2, +\infty )$. 4. Kiểm tra các mệnh đề: - A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -2)$: Đúng vì $(-\infty, -2)$ nằm trong khoảng $( -\infty, 0 )$. - B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, 0)$: Sai vì $(-2, 0)$ nằm trong khoảng $( -\infty, 0 )$ mà ở đây hàm số nghịch biến. - C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$: Sai vì $(-\infty, 0)$ là khoảng nghịch biến. Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -2)$ Đáp án: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -2)$. Câu 16: Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = x^4 - 4x^3 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3) = 4x^3 - 12x^2 $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 4x^3 - 12x^2 = 0 $$ $$ 4x^2(x - 3) = 0 $$ $$ x = 0 \text{ hoặc } x = 3 $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm $ y' $ trên các khoảng giữa các điểm cực trị: - Khi $ x < 0 $: Chọn $ x = -1 $: $$ y' = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16 $$ Vậy $ y' < 0 $ trên khoảng $ (-\infty, 0) $. - Khi $ 0 < x < 3 $: Chọn $ x = 1 $: $$ y' = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 $$ Vậy $ y' < 0 $ trên khoảng $ (0, 3) $. - Khi $ x > 3 $: Chọn $ x = 4 $: $$ y' = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 256 - 192 = 64 $$ Vậy $ y' > 0 $ trên khoảng $ (3, +\infty) $. 4. Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (0, 3) $. - Hàm số đồng biến trên khoảng $ (3, +\infty) $. Do đó, đáp án đúng là: $$ B.~(3;+\infty). $$ Câu 23: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$, ta dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$. Bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ cho thấy: - Trên khoảng $(-\infty, -2)$, $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. - Tại điểm $x = -2$, $f'(x) = 0$. - Trên khoảng $(-2, 1)$, $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. - Tại điểm $x = 1$, $f'(x) = 0$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. Do đó, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2, 1)$. Đáp án: Khoảng nghịch biến của hàm số là $(-2, 1)$. Câu 17: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $ y = f(x) $, ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm $ f'(x) $ dương. Đạo hàm của hàm số đã cho là: $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^2 (3 - x) $$ Ta xét dấu của $ f'(x) $: - $ (1 - x)^2 \geq 0 $ với mọi $ x $ - $ (x + 1)^2 \geq 0 $ với mọi $ x $ - $ (3 - x) > 0 $ khi $ x < 3 $ Do đó, $ f'(x) $ sẽ dương khi $ (3 - x) > 0 $, tức là $ x < 3 $. Tuy nhiên, ta cũng cần kiểm tra các điểm mà đạo hàm bằng 0 để xác định các khoảng đồng biến: - $ (1 - x)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $ - $ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 $ - $ (3 - x) = 0 \Rightarrow x = 3 $ Như vậy, đạo hàm $ f'(x) $ bằng 0 tại $ x = -1 $, $ x = 1 $, và $ x = 3 $. Ta xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng giữa các điểm này: - Khi $ x < -1 $, $ (3 - x) > 0 $, $ (1 - x)^2 > 0 $, $ (x + 1)^2 > 0 $ nên $ f'(x) > 0 $. - Khi $ -1 < x < 1 $, $ (3 - x) > 0 $, $ (1 - x)^2 > 0 $, $ (x + 1)^2 > 0 $ nên $ f'(x) > 0 $. - Khi $ 1 < x < 3 $, $ (3 - x) > 0 $, $ (1 - x)^2 > 0 $, $ (x + 1)^2 > 0 $ nên $ f'(x) > 0 $. - Khi $ x > 3 $, $ (3 - x) < 0 $, $ (1 - x)^2 > 0 $, $ (x + 1)^2 > 0 $ nên $ f'(x) < 0 $. Vậy hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $, và $ (1, 3) $. Trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến đúng là: $$ C.~(1;3) $$ Đáp án: $ C.~(1;3) $ Câu 24: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể suy ra các tính chất và hành vi của hàm số như sau: 1. Giá trị cực đại và cực tiểu: - Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị cực đại là $f(-1) = 3$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ với giá trị cực tiểu là $f(1) = -1$. 2. Điểm uốn: - Hàm số có điểm uốn tại $x = 0$, nơi mà đồ thị của hàm số thay đổi từ lõm xuống sang lõm lên hoặc ngược lại. 3. Hành vi của hàm số trên các khoảng: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1, 0)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(0, 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, hàm số nghịch biến. 4. Giới hạn của hàm số: - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ 5. Điểm cắt trục tọa độ: - Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0, 1)$. - Đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm $(-2, 0)$ và $(2, 0)$. Tóm lại, dựa vào bảng biến thiên, ta đã xác định được các tính chất quan trọng của hàm số $y = f(x)$, bao gồm các giá trị cực đại, cực tiểu, điểm uốn, hành vi trên các khoảng, giới hạn và các điểm cắt trục tọa độ. Câu 18: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019\right)' = x^2 - 2x - 3 $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $, ta sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $ a = 1 $, $ b = -2 $, $ c = -3 $: $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Do đó, ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$ 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $, chọn $ x = -2 $: $$ y' = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 $$ - Trên khoảng $ (-1, 3) $, chọn $ x = 0 $: $$ y' = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0 $$ - Trên khoảng $ (3, +\infty) $, chọn $ x = 4 $: $$ y' = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 $$ Như vậy, đạo hàm $ y' $ âm trên khoảng $ (-1, 3) $, tức là hàm số nghịch biến trên khoảng này. Kết luận: Hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019 $ nghịch biến trên khoảng $ (-1, 3) $. Đáp án đúng là: $ A.~(-1;3) $ Câu 25: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có các thông tin sau: - Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$. - Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. - Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị cực đại là $f(-1) = 2$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ với giá trị cực tiểu là $f(1) = -2$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề nào là đúng: 1. Mệnh đề A: "Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$." - Đúng, vì theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$. 2. Mệnh đề B: "Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm $x = 1$." - Sai, vì theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$, không phải cực đại. 3. Mệnh đề C: "Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x = -1$." - Sai, vì theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$, không phải cực tiểu. 4. Mệnh đề D: "Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$." - Đúng, vì theo bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. Như vậy, hai mệnh đề đúng là: - Mệnh đề A: "Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$." - Mệnh đề D: "Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$." Tuy nhiên, trong câu hỏi yêu cầu chọn một mệnh đề đúng duy nhất, nên chúng ta sẽ chọn mệnh đề đầu tiên đúng trong danh sách. Đáp án: Mệnh đề A là đúng. Câu 19: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \sqrt{2018x - x^2} $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): $$ 2018x - x^2 \geq 0 $$ Ta giải bất phương trình này: $$ x(2018 - x) \geq 0 $$ Điều kiện này đúng khi $ x $ nằm trong khoảng từ 0 đến 2018, tức là: $$ 0 \leq x \leq 2018 $$ 2. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y = \sqrt{2018x - x^2} $$ Đặt $ u = 2018x - x^2 $, thì $ y = \sqrt{u} $. Ta có: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{d(\sqrt{u})}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2018 - 2x) $$ Thay $ u = 2018x - x^2 $ vào: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{2018 - 2x}{2\sqrt{2018x - x^2}} $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm: Để hàm số nghịch biến, đạo hàm phải nhỏ hơn 0: $$ \frac{2018 - 2x}{2\sqrt{2018x - x^2}} < 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ 2018 - 2x < 0 $$ Giải bất phương trình này: $$ 2018 < 2x \implies x > 1009 $$ 4. Xác định khoảng nghịch biến: Kết hợp với điều kiện xác định $ 0 \leq x \leq 2018 $, ta có khoảng nghịch biến là: $$ 1009 < x \leq 2018 $$ Do đó, hàm số $ y = \sqrt{2018x - x^2} $ nghịch biến trên khoảng $ (1009; 2018] $. Trong các đáp án đã cho, khoảng $ (1010; 2018) $ nằm trong khoảng nghịch biến của hàm số. Đáp án: A. $ (1010; 2018) $ Câu 20: Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = -x^3 + 3x^2 - 4 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 + 3x^2 - 4) = -3x^2 + 6x $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: $$ y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2) $$ Ta thấy rằng đạo hàm $ y' $ sẽ thay đổi dấu tại các điểm $ x = 0 $ và $ x = 2 $. 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng: - Khi $ x < 0 $: $ y' = -3x(x - 2) > 0 $ (vì cả hai thừa số đều âm) - Khi $ 0 < x < 2 $: $ y' = -3x(x - 2) > 0 $ (vì $ -3x $ âm và $ x - 2 $ âm) - Khi $ x > 2 $: $ y' = -3x(x - 2) < 0 $ (vì $ -3x $ âm và $ x - 2 $ dương) 4. Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên khoảng $ (0, 2) $. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, 0) $ và $ (2, +\infty) $. Do đó, đáp án đúng là: C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $ (3; +\infty) $. Tuy nhiên, theo kết luận trên, hàm số nghịch biến trên khoảng $ (2, +\infty) $, nên đáp án chính xác là: D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $ (2, +\infty) $.