Câu 1.
Cấp số nhân có và công bội .
Số hạng thứ 6 của cấp số nhân được tính theo công thức:
Áp dụng vào bài toán:
Vậy số hạng thứ 6 của cấp số nhân là 160.
Đáp án đúng là: B. 160.
Câu 2.
Dưới đây là lập luận từng bước để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về hàm số :
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên :
- Ta biết rằng hàm số là hàm nghịch biến nếu . Vì thuộc khoảng , nên hàm số là hàm nghịch biến trên . Mệnh đề này đúng.
B. Đồ thị hàm số đã cho nằm phía bên phải trục tung:
- Đồ thị của hàm số chỉ được xác định cho , tức là nằm phía bên phải trục tung. Mệnh đề này đúng.
C. Đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm :
- Ta thay vào hàm số :
Do đó, đồ thị hàm số đi qua điểm . Mệnh đề này đúng.
D. Tập giá trị của hàm số đã cho là :
- Hàm số có tập giá trị là tất cả các số thực, tức là . Mệnh đề này sai vì tập giá trị của hàm số đã cho không phải là .
Kết luận: Mệnh đề sai là D. Tập giá trị của hàm số đã cho là .
Câu 3.
Để tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm diện tích của tam giác SAB:
- Tam giác SAB là tam giác vuông tại A vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Diện tích tam giác SAB:
2. Tính thể tích của khối chóp SABC:
- Diện tích đáy ABCD là:
- Thể tích khối chóp SABCD:
- Thể tích khối chóp SABC (tương đương với SABCD vì C nằm trên đáy):
3. Tính diện tích tam giác ABC:
- Tam giác ABC là tam giác vuông tại A:
4. Tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB):
- Gọi khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là h.
- Thể tích khối chóp SABC cũng có thể tính qua diện tích tam giác SAB và khoảng cách h:
- Thay các giá trị đã biết vào:
- Giải phương trình để tìm h:
Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là .
Đáp án đúng là: A. 3a
Câu 4.
Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị.
1. Kiểm tra các đường tiệm cận:
- Đường tiệm cận đứng: Đây là giá trị của làm mẫu số bằng 0.
- Đường tiệm cận ngang: Đây là giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng.
2. Kiểm tra các giao điểm với trục tọa độ:
- Giao điểm với trục : Đặt vào hàm số.
- Giao điểm với trục : Đặt vào hàm số.
Hàm số A:
- Đường tiệm cận đứng:
- Đường tiệm cận ngang:
Hàm số B:
- Đường tiệm cận đứng:
- Đường tiệm cận ngang:
Hàm số C:
- Đường tiệm cận đứng:
- Đường tiệm cận ngang:
Hàm số D:
- Đường tiệm cận đứng:
- Đường tiệm cận ngang:
So sánh với đồ thị trong hình, ta thấy:
- Đường tiệm cận đứng là
- Đường tiệm cận ngang là
Do đó, hàm số đúng là .
Đáp án: B.
Câu 5.
Để xác định hàm số nào nhận đường thẳng làm tiệm cận xiên, ta cần thực hiện phép chia đa thức để tìm thương của phân thức đại số. Nếu thương của phép chia này là , thì đường thẳng sẽ là tiệm cận xiên của hàm số đó.
Ta xét từng hàm số:
A.
Thực hiện phép chia:
Thương là , dư là 2. Vậy . Tiệm cận xiên là .
B.
Thực hiện phép chia:
Thương là , dư là 2. Vậy . Tiệm cận xiên là .
C.
Thực hiện phép chia:
Thương là , dư là 2. Vậy . Tiệm cận xiên là .
D.
Thực hiện phép chia:
Thương là , dư là 1. Vậy . Tiệm cận xiên là .
Như vậy, chỉ có hàm số B. nhận đường thẳng làm tiệm cận xiên.
Đáp án đúng là: B. .
Câu 6.
Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số , ta sẽ sử dụng đạo hàm để phân tích.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm:
- Khi , ta có . Do đó, và hàm số đồng biến trên khoảng .
- Khi , ta có . Do đó, và hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Khi , ta có . Do đó, tại điểm này, hàm số có thể đạt cực tiểu hoặc cực đại tại điểm này.
Bước 3: Kết luận:
- Trên khoảng , hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng , hàm số đồng biến.
Do đó, khẳng định đúng là:
D. Hàm số nghịch biến trên .
Câu 7.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó là .
Ta xét các đáp án đã cho:
A.
B.
C.
D.
Ta sẽ kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số này để xem có đúng là hay không.
- Đạo hàm của :
Điều này không phải là .
- Đạo hàm của :
Điều này đúng là .
- Đạo hàm của :
Điều này không phải là .
- Đạo hàm của :
Điều này không phải là .
Như vậy, chỉ có đáp án B là đúng.
Đáp án: B. .
Câu 8.
Ta có:
Vì theo tính chất của tích phân, khi đổi cận tích phân thì dấu tích phân sẽ thay đổi. Do đó:
Vậy đáp án đúng là B. -6.
Câu 9.
Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng tần số:
Tổng tần số .
2. Xác định các phần tử của mẫu số liệu:
- Phần tử thứ 12,5 (tương ứng với Q1) nằm ở khoảng [162; 164).
- Phần tử thứ 37,5 (tương ứng với Q3) nằm ở khoảng [164; 166).
3. Tính Q1 và Q3:
- Q1:
- Q3:
4. Tính khoảng tứ phân vị:
Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này thuộc khoảng [2,2; 2,4).
Đáp án: C. [2,2; 2,4).
Câu 10.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, tức là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy ABC.
- Khẳng định A: vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, do đó SA vuông góc với BC.
- Khẳng định B: vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, do đó SA vuông góc với AB.
- Khẳng định C: không đúng vì AC nằm trong mặt phẳng đáy ABC và SB không vuông góc với AC (do SB không nằm trong mặt phẳng vuông góc với AC).
- Khẳng định D: không đúng vì SB không vuông góc với BC (do SB không nằm trong mặt phẳng vuông góc với BC).
Do đó, khẳng định sai là:
C.
Đáp án: C.