Hãy giải giúp tôi câu hỏi này Câu 2: (2 điểm) Cho hai biểu thức:,$A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}$ và $B=(\frac1{\sqrt x-1}+\frac{\sqrt x}{x-1}).\frac{x-\sqrt x}{2\sqrt x+1}$,với $x\geq0,~x
e9;x
e1.$,1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=25.$,2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}.$,3) Xét biểu thức $P=AB.$ Tìm các số nguyên,tố x để $P

Question

Hãy giải giúp tôi câu hỏi này Câu 2: (2 điểm) Cho hai biểu thức:,$A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}$ và $B=(\frac1{\sqrt x-1}+\frac{\sqrt x}{x-1}).\frac{x-\sqrt x}{2\sqrt x+1}$,với $x\geq0,~x
e9;x
e1.$,1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=25.$,2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}.$,3) Xét biểu thức $P=AB.$ Tìm các số nguyên,tố x để $P<1.$

Accepted Answer

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần 1: Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 25 $

Biểu thức $ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} $.

Thay $ x = 25 $:

$$ \sqrt{25} = 5 $$

Do đó:

$$ A = \frac{5 + 1}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3 $$

Phần 2: Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $

Biểu thức $ B = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} $.

Chúng ta sẽ đơn giản hóa từng phần của biểu thức $ B $:

1. Chuyển đổi $ \frac{\sqrt{x}}{x - 1} $:

$$ \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

2. Cộng hai phân số:

$$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

3. Nhân với $ \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} $:

$$ B = \left( \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} $$

$$ B = \frac{x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

$$ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

$$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$

Phần 3: Xét biểu thức $ P = AB $ và tìm các số nguyên tố $ x $ để $ P < 1 $

Biểu thức $ P = AB $:

$$ P = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$

Yêu cầu $ P < 1 $:

$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} < 1 $$

$$ \sqrt{x} < \sqrt{x} - 3 $$

$$ 0 < -3 $$

Điều này là vô lý, do đó không có giá trị nào của $ x $ thỏa mãn điều kiện trên.

Tuy nhiên, nếu xét lại điều kiện ban đầu, chúng ta thấy rằng $ x $ phải là số nguyên tố và $ x \neq 9 $ và $ x \neq 1 $. Các số nguyên tố nhỏ hơn 9 là 2, 3, 5, 7. Chúng ta kiểm tra từng trường hợp:

- $ x = 2 $: $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 3} \approx \frac{1.414}{1.414 - 3} \approx \frac{1.414}{-1.586} \approx -0.892 $ (không thỏa mãn)
- $ x = 3 $: $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 3} \approx \frac{1.732}{1.732 - 3} \approx \frac{1.732}{-1.268} \approx -1.365 $ (không thỏa mãn)
- $ x = 5 $: $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3} \approx \frac{2.236}{2.236 - 3} \approx \frac{2.236}{-0.764} \approx -2.927 $ (không thỏa mãn)
- $ x = 7 $: $ \sqrt{7} \approx 2.646 $, $ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - 3} \approx \frac{2.646}{2.646 - 3} \approx \frac{2.646}{-0.354} \approx -7.475 $ (không thỏa mãn)

Như vậy, không có số nguyên tố $ x $ nào thỏa mãn điều kiện $ P < 1 $.

Đáp số: Không có số nguyên tố $ x $ nào thỏa mãn điều kiện $ P < 1 $.