giải giúp mình với Câu 18: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(x+1)(x-1)^4(2-x)$ Mệnh,nào dưới đây đúng?,$A.~f(5)f(4)f(3).$ $B.~f(-1)f(0)f(1).$,$C.~f(-3) ,Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-2;0).$ $C.~(1;+\infty).$ $D.~(-1;+\infty).$,Câu 25: Hàm số $y=\frac{x-7}{x+4}$ đồng biến trên khoảng,$A.~(-\infty;+\infty).$ $B.~(-6;0).$ $C.~(1;4).$ $D.~(-5;1).$,Câu 26: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}.$ Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?,$A.~(-\infty;5).$ $B.~(-3;+\infty).$ $C.~(3;+\infty).$ $D.~(-3;5).$,Câu 27: Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 3. B. 2. C. 0 D. 1.

Question

giải giúp mình với Câu 18: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(x+1)(x-1)^4(2-x)$ Mệnh,nào dưới đây đúng?,$A.~f(5)>f(4)>f(3).$ $B.~f(-1)>f(0)>f(1).$,$C.~f(-3)

,Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-2;0).$ $C.~(1;+\infty).$ $D.~(-1;+\infty).$,Câu 25: Hàm số $y=\frac{x-7}{x+4}$ đồng biến trên khoảng,$A.~(-\infty;+\infty).$ $B.~(-6;0).$ $C.~(1;4).$ $D.~(-5;1).$,Câu 26: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}.$ Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?,$A.~(-\infty;5).$ $B.~(-3;+\infty).$ $C.~(3;+\infty).$ $D.~(-3;5).$,Câu 27: Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 3. B. 2. C. 0 D. 1.

Accepted Answer

Câu 18: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích dấu của đạo hàm $ f'(x) $ để xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số $ y = f(x) $. Đạo hàm của hàm số là: $$ f'(x) = (x + 1)(x - 1)^4(2 - x) $$ Ta xét dấu của mỗi nhân tử: - $ x + 1 > 0 $ khi $ x > -1 $ - $ x + 1 < 0 $ khi $ x < -1 $ - $ (x - 1)^4 \geq 0 $ với mọi $ x $ (và bằng 0 khi $ x = 1 $) - $ 2 - x > 0 $ khi $ x < 2 $ - $ 2 - x < 0 $ khi $ x > 2 $ Bây giờ, ta lập bảng xét dấu của $ f'(x) $: $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, \infty) \ \hline x + 1 & - & 0 & + & + & + & + & + \ (x - 1)^4 & + & + & + & 0 & + & + & + \ 2 - x & + & + & + & + & + & 0 & - \ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & + & 0 & - \ \end{array} $$ Từ bảng xét dấu, ta thấy: - $ f'(x) < 0 $ trên khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (2, \infty) $, do đó hàm số $ f(x) $ giảm trên các khoảng này. - $ f'(x) > 0 $ trên khoảng $ (-1, 1) $ và $ (1, 2) $, do đó hàm số $ f(x) $ tăng trên các khoảng này. Bây giờ, ta kiểm tra từng mệnh đề: - $ A.~f(5) > f(4) > f(3) $: Trên khoảng $ (2, \infty) $, hàm số giảm, nên $ f(5) < f(4) < f(3) $. Mệnh đề sai. - $ B.~f(-1) > f(0) > f(1) $: Trên khoảng $ (-1, 1) $, hàm số tăng, nên $ f(-1) < f(0) < f(1) $. Mệnh đề sai. - $ C.~f(-3) < f(-2) < f(-1) $: Trên khoảng $ (-\infty, -1) $, hàm số giảm, nên $ f(-3) > f(-2) > f(-1) $. Mệnh đề sai. - $ D.~f(0) < f(1) < f(2) $: Trên khoảng $ (-1, 1) $, hàm số tăng, nên $ f(0) < f(1) $. Trên khoảng $ (1, 2) $, hàm số cũng tăng, nên $ f(1) < f(2) $. Mệnh đề đúng. Vậy, mệnh đề đúng là: $$ \boxed{D} $$ Câu 19: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $f(x)$, ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm $f'(x)$ nhỏ hơn 0. Đạo hàm của hàm số là: $$ f'(x) = (2 - x)(x + 1)^2(x - 1)^5 $$ Ta xét dấu của mỗi nhân tử trong biểu thức đạo hàm: - $(2 - x)$: Nhân tử này dương khi $x < 2$, âm khi $x > 2$. - $(x + 1)^2$: Nhân tử này luôn dương vì là bình phương của một số thực (trừ khi $x = -1$, lúc đó nó bằng 0). - $(x - 1)^5$: Nhân tử này dương khi $x > 1$, âm khi $x < 1$. Bây giờ, ta sẽ vẽ bảng xét dấu của $f'(x)$ dựa trên các điểm chia là $x = -1$, $x = 1$, và $x = 2$. | x | (-∞, -1) | -1 | (-1, 1) | 1 | (1, 2) | 2 | (2, +∞) | |--------|----------|----|---------|---|--------|---|---------| | 2 - x | + | + | + | + | + | 0 | - | | (x + 1)| - | 0 | + | + | + | + | + | | (x + 1)^2 | + | 0 | + | + | + | + | + | | x - 1 | - | - | - | 0 | + | + | + | | (x - 1)^5 | - | - | - | 0 | + | + | + | | f'(x) | - | 0 | - | 0 | + | 0 | - | Từ bảng xét dấu trên, ta thấy rằng $f'(x) < 0$ trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, 2)$. Tuy nhiên, chỉ có khoảng $(1, 2)$ nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(1, 2)$. Đáp án đúng là: $D.~(1;+\infty).$ Nhưng theo bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, 2)$. Vì vậy, đáp án đúng là: Đáp án: $C.~(1;2).$ Câu 20: Để xác định tính đồng biến của hàm số $y=\frac{2023x-22}{x+1}$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $$ y' = \left( \frac{2023x - 22}{x + 1} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(2023x - 22)'(x + 1) - (2023x - 22)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2023(x + 1) - (2023x - 22)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2023x + 2023 - 2023x + 22}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2045}{(x + 1)^2} $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm. $$ y' = \frac{2045}{(x + 1)^2} $$ Ta thấy rằng $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$. Do đó, $y' > 0$ với mọi $x \neq -1$. Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến. Hàm số $y = \frac{2023x - 22}{x + 1}$ đồng biến trên các khoảng không chứa điểm $x = -1$, cụ thể là: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$ - Trên khoảng $(-1, +\infty)$ Bây giờ, ta kiểm tra từng khẳng định: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 1)$: Đúng vì $(-\infty, 1)$ bao gồm cả khoảng $(-\infty, -1)$. B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -1)$: Đúng vì đạo hàm dương trên khoảng này. C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1, 2023)$: Đúng vì đạo hàm dương trên khoảng này. D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1, 2023)$: Đúng vì đạo hàm dương trên khoảng này. Như vậy, tất cả các khẳng định đều đúng ngoại trừ khẳng định A, vì nó bao gồm cả khoảng $(-1, 1)$, trong khi hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng này do có điểm bất định tại $x = -1$. Đáp án: A. Câu 21: Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $ y = f(x) $, ta cần xác định các khoảng trên đó đạo hàm $ f'(x) $ nhỏ hơn 0. Ta có: $$ f'(x) = (x - 3)(x + 2)(x + 5)^2 $$ Đầu tiên, ta tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $$ (x - 3)(x + 2)(x + 5)^2 = 0 $$ Suy ra: $$ x = 3, \quad x = -2, \quad x = -5 $$ Tiếp theo, ta xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trên các khoảng được xác định bởi các điểm $ x = 3 $, $ x = -2 $, và $ x = -5 $. Ta chia trục số thành các khoảng: 1. $ (-\infty, -5) $ 2. $ (-5, -2) $ 3. $ (-2, 3) $ 4. $ (3, +\infty) $ Bây giờ, ta xét dấu của $ f'(x) $ trong mỗi khoảng này: - Trong khoảng $ (-\infty, -5) $: Chọn $ x = -6 $: $$ f'(-6) = (-6 - 3)(-6 + 2)(-6 + 5)^2 = (-9)(-4)(1) = 36 > 0 $$ Vậy $ f'(x) > 0 $ trong khoảng $ (-\infty, -5) $. - Trong khoảng $ (-5, -2) $: Chọn $ x = -3 $: $$ f'(-3) = (-3 - 3)(-3 + 2)(-3 + 5)^2 = (-6)(-1)(4) = 24 > 0 $$ Vậy $ f'(x) > 0 $ trong khoảng $ (-5, -2) $. - Trong khoảng $ (-2, 3) $: Chọn $ x = 0 $: $$ f'(0) = (0 - 3)(0 + 2)(0 + 5)^2 = (-3)(2)(25) = -150 < 0 $$ Vậy $ f'(x) < 0 $ trong khoảng $ (-2, 3) $. - Trong khoảng $ (3, +\infty) $: Chọn $ x = 4 $: $$ f'(4) = (4 - 3)(4 + 2)(4 + 5)^2 = (1)(6)(81) = 486 > 0 $$ Vậy $ f'(x) > 0 $ trong khoảng $ (3, +\infty) $. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng đạo hàm $ f'(x) $ nhỏ hơn 0 trong khoảng $ (-2, 3) $. Do đó, hàm số $ y = f(x) $ nghịch biến trên khoảng $ (-2, 3) $. Vậy đáp án đúng là: $$ B.~(-2;3) $$ Câu 22: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 1) = -4x^3 + 4x $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần giải bất phương trình $y' > 0$ để tìm khoảng đồng biến của hàm số: $$ -4x^3 + 4x > 0 $$ Chia cả hai vế cho -4 (nhớ đổi dấu): $$ x^3 - x < 0 $$ Factorize: $$ x(x^2 - 1) < 0 $$ $$ x(x-1)(x+1) < 0 $$ 3. Lập bảng xét dấu: Ta xét dấu của các thừa số $x$, $(x-1)$ và $(x+1)$ trên các khoảng: - Khi $x < -1$: $x < 0$, $x-1 < 0$, $x+1 < 0$. Tích của ba thừa số âm là số dương. - Khi $-1 < x < 0$: $x < 0$, $x-1 < 0$, $x+1 > 0$. Tích của hai thừa số âm và một thừa số dương là số âm. - Khi $0 < x < 1$: $x > 0$, $x-1 < 0$, $x+1 > 0$. Tích của hai thừa số âm và một thừa số dương là số âm. - Khi $x > 1$: $x > 0$, $x-1 > 0$, $x+1 > 0$. Tích của ba thừa số dương là số dương. Bảng xét dấu: $$ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 0) & (0, 1) & (1, +\infty) \ \hline x & - & - & + & + \ x-1 & - & - & - & + \ x+1 & - & + & + & + \ \hline x(x-1)(x+1) & + & - & - & + \ \end{array} $$ 4. Xác định khoảng đồng biến: Hàm số đồng biến khi $y' > 0$. Từ bảng xét dấu, ta thấy $y' > 0$ trên các khoảng $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$. Do đó, hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ đồng biến trên khoảng $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$. Trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến đúng là: $$ D.~(-\infty;0). $$ Vậy đáp án đúng là: $D.~(-\infty;0)$. Câu 23: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số - Hàm số $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ có nghĩa khi $8 + 2x - x^2 \geq 0$. - Ta giải bất phương trình $8 + 2x - x^2 \geq 0$: $$ 8 + 2x - x^2 \geq 0 \ x^2 - 2x - 8 \leq 0 \ (x - 4)(x + 2) \leq 0 $$ - Bất phương trình $(x - 4)(x + 2) \leq 0$ có nghiệm là $-2 \leq x \leq 4$. - Vậy tập xác định của hàm số là $[-2, 4]$. Bước 2: Xác định đạo hàm của hàm số - Ta tính đạo hàm của $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{8 + 2x - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} \cdot (2 - 2x) = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} $$ Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm - Để hàm số đồng biến, ta cần $y' > 0$: $$ \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} > 0 $$ - Điều này xảy ra khi $1 - x > 0$, tức là $x < 1$. Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định và dấu đạo hàm - Hàm số $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ đồng biến trên khoảng $(-2, 1)$. Kết luận: Hàm số $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ đồng biến trên khoảng $(-2, 1)$. Do đó, đáp án đúng là: $$ C.~(-2;1) $$ Câu 24: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần xem xét dấu của đạo hàm $f'(x)$. Hàm số $y = f'(x)$ là hàm bậc ba và có đồ thị như hình vẽ. Ta thấy rằng: - $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-\infty, -2)$ và $(0, +\infty)$. - $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-2, 0)$. Do đó, hàm số $y = f(x)$ sẽ nghịch biến khi đạo hàm $f'(x) < 0$. Từ đó suy ra hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2, 0)$. Vậy đáp án đúng là: B. $(-2; 0)$ Câu 25: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $ y = \frac{x - 7}{x + 4} $, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm mà đạo hàm dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ y = \frac{x - 7}{x + 4} $. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Trong đó, $ u = x - 7 $ và $ v = x + 4 $. Tính đạo hàm của $ u $ và $ v $: $$ u' = 1 $$ $$ v' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(1)(x + 4) - (x - 7)(1)}{(x + 4)^2} $$ $$ y' = \frac{x + 4 - x + 7}{(x + 4)^2} $$ $$ y' = \frac{11}{(x + 4)^2} $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $ y' $. Ta thấy rằng $ y' = \frac{11}{(x + 4)^2} $. Vì $ 11 > 0 $ và $ (x + 4)^2 > 0 $ (trừ khi $ x = -4 $), nên $ y' > 0 $ trên toàn bộ miền xác định của hàm số ngoại trừ điểm $ x = -4 $. Bước 3: Xác định miền xác định của hàm số. Hàm số $ y = \frac{x - 7}{x + 4} $ xác định khi $ x + 4 \neq 0 $, tức là $ x \neq -4 $. Do đó, hàm số $ y = \frac{x - 7}{x + 4} $ đồng biến trên tất cả các khoảng ngoại trừ điểm $ x = -4 $. Kết luận: Hàm số $ y = \frac{x - 7}{x + 4} $ đồng biến trên khoảng $ (-\infty, -4) \cup (-4, +\infty) $. Vì vậy, đáp án đúng là: $$ A.~(-\infty;+\infty). $$ Câu 26: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: $$ y' = \left(\frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}\right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(x^2 - 2x + 5)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử và mẫu: $$ (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2 $$ $$ (x - 1)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} $$ Rút gọn biểu thức: $$ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 5}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc vô định: $$ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} $$ Đạo hàm vô định khi mẫu số bằng 0: $$ (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 $$ Đạo hàm bằng 0 khi tử số bằng 0: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Vậy: $$ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$ 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: Ta xét dấu của đạo hàm trên các khoảng $( -\infty, -1 )$, $(-1, 1)$, $(1, 3)$ và $(3, +\infty)$. - Trên khoảng $( -\infty, -1 )$: Chọn $x = -2$ $$ y' = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{(-2 - 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 $$ - Trên khoảng $(-1, 1)$: Chọn $x = 0$ $$ y' = \frac{0^2 - 2(0) - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 $$ - Trên khoảng $(1, 3)$: Chọn $x = 2$ $$ y' = \frac{2^2 - 2(2) - 3}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} = -3 < 0 $$ - Trên khoảng $(3, +\infty)$: Chọn $x = 4$ $$ y' = \frac{4^2 - 2(4) - 3}{(4 - 1)^2} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 $$ 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $( -\infty, -1 )$ và $(3, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1, 1)$ và $(1, 3)$. Do đó, trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến của hàm số là: $$ C.~(3;+\infty) $$ Câu 27: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: $$ y' = \left( \frac{2x + 3}{x + 1} \right)' = \frac{(2x + 3)'(x + 1) - (2x + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử và mẫu: $$ (2x + 3)' = 2 \quad \text{và} \quad (x + 1)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ y' = \frac{2(x + 1) - (2x + 3)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{(x + 1)^2} $$ 2. Xét dấu đạo hàm: Ta thấy rằng: $$ y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} $$ Vì $(x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq -1$, nên $\frac{-1}{(x + 1)^2}$ luôn âm với mọi $x \neq -1$. Điều này có nghĩa là đạo hàm $y'$ không đổi dấu ở bất kỳ điểm nào trong miền xác định của hàm số. 3. Kết luận về điểm cực trị: Do đạo hàm $y'$ không đổi dấu ở bất kỳ điểm nào, hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ không có điểm cực trị. Vậy đáp án đúng là: C. 0 Đáp số: C. 0