làm Đúng - Sai Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}.$,a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$,b) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}.$,c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}.$,d) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty).$,Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ,,(â a) Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$,b) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0),(2;+\infty)$,c) Với mọi $x\in(0;2)$ thì hàm số $y=f(x)$ luôn nhận giá trị dương,d) Hàm số $y=f(-x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$,Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$,a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$,b) Phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm nguyên,c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(0;1)$ và $(2;+\infty)$,d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(0;1)$ và $(1;2).$,Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x-1}$,a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$,b) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}.$,c) Đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 với mọi $x e1.$,d) Hàm số đã cho không có cực trị.,Câu 6: Cho hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$,a) Hàm số đạt cực đại tại $x=0.$,b) Hàm số không có cực trị.,c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0.$,d) Hàm số có hai điểm cực trị.,Câu 7: Cho hàm số $y=-\frac12x^4+x^2+\frac12.$,a) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,$ giá trị cực tiểu của hàm số là $y(0)=0$,b) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=\pm1,$ giá trị cực tiểu của hàm số là $y(\pm1)=1.$,c) Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\pm1,$ giá trị cực đại của hàm số là $y(\pm1)=\frac12.$

Question

làm Đúng - Sai Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}.$,a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$,b) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}.$,c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}.$,d) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty).$,Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/b6060360e3b34414b202e68ddd1d2d12.jpg />,(â a) Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$,b) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0),(2;+\infty)$,c) Với mọi $x\in(0;2)$ thì hàm số $y=f(x)$ luôn nhận giá trị dương,d) Hàm số $y=f(-x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$,Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$,a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$,b) Phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm nguyên,c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(0;1)$ và $(2;+\infty)$,d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(0;1)$ và $(1;2).$,Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x-1}$,a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$,b) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}.$,c) Đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 với mọi $x
e1.$,d) Hàm số đã cho không có cực trị.,Câu 6: Cho hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$,a) Hàm số đạt cực đại tại $x=0.$,b) Hàm số không có cực trị.,c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0.$,d) Hàm số có hai điểm cực trị.,Câu 7: Cho hàm số $y=-\frac12x^4+x^2+\frac12.$,a) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,$ giá trị cực tiểu của hàm số là $y(0)=0$,b) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=\pm1,$ giá trị cực tiểu của hàm số là $y(\pm1)=1.$,c) Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\pm1,$ giá trị cực đại của hàm số là $y(\pm1)=\frac12.$

Accepted Answer

Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của hàm số $y = \frac{x-1}{x+2}$. a) Tập xác định của hàm số Hàm số $y = \frac{x-1}{x+2}$ là một hàm phân thức. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: $$ x + 2 \neq 0 $$ $$ x \neq -2 $$ Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $$ b) Kiểm tra tính chất biến thiên của hàm số Để kiểm tra tính chất biến thiên của hàm số, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số: $$ y = \frac{x-1}{x+2} $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(x-1)'(x+2) - (x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} $$ $$ y' = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} $$ $$ y' = \frac{x + 2 - x + 1}{(x+2)^2} $$ $$ y' = \frac{3}{(x+2)^2} $$ Ta thấy rằng $(x+2)^2 > 0$ với mọi $x \neq -2$. Do đó, $y' > 0$ với mọi $x \neq -2$. Kết luận về tính chất biến thiên - Vì $y' > 0$ với mọi $x \neq -2$, hàm số $y = \frac{x-1}{x+2}$ là hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -2)$ và $(-2, +\infty)$. Đáp án a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -2)$ và $(-2, +\infty)$. Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$. a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$: - Trên đồ thị, từ $x = 0$ đến $x = 2$, ta thấy rằng giá trị của hàm số tăng dần theo $x$. Do đó, phát biểu này đúng. b) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty;0)$, ta thấy rằng giá trị của hàm số giảm dần theo $x$. Do đó, phát biểu này đúng. - Trên khoảng $(2;+\infty)$, ta thấy rằng giá trị của hàm số cũng giảm dần theo $x$. Do đó, phát biểu này đúng. c) Với mọi $x \in (0;2)$ thì hàm số $y = f(x)$ luôn nhận giá trị dương: - Trên khoảng $(0;2)$, ta thấy rằng giá trị của hàm số luôn nằm phía trên trục hoành, tức là luôn dương. Do đó, phát biểu này đúng. d) Hàm số $y = f(-x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$: - Để kiểm tra tính chất của hàm số $y = f(-x)$, ta cần xem xét hành vi của hàm số $y = f(x)$ trên khoảng $(0;2)$. - Trên khoảng $(0;2)$, hàm số $y = f(x)$ đồng biến. Do đó, khi thay $x$ bằng $-x$, hàm số $y = f(-x)$ sẽ nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$. Do đó, phát biểu này đúng. Kết luận: Tất cả các phát biểu a), b), c), và d) đều đúng. Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số. 3. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị. 4. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Hàm số $y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$ có mẫu số là $x - 1$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: $$ x - 1 \neq 0 $$ $$ x \neq 1 $$ Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} $$ Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Trong đó: $$ u = x^2 + x - 1 \quad \text{và} \quad v = x - 1 $$ Tính đạo hàm của $u$ và $v$: $$ u' = 2x + 1 $$ $$ v' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + x - 2x - 1 - x^2 - x + 1}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} $$ Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 Phương trình $y' = 0$: $$ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 $$ Điều kiện để phân thức bằng 0 là tử số bằng 0: $$ x(x - 2) = 0 $$ Giải phương trình này: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ Bước 4: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Ta xét dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng: - Khi $x < 0$: $x < 0$, $x - 2 < 0$, $(x - 1)^2 > 0$ nên $y' < 0$ (nghịch biến) - Khi $0 < x < 1$: $x > 0$, $x - 2 < 0$, $(x - 1)^2 > 0$ nên $y' < 0$ (nghịch biến) - Khi $1 < x < 2$: $x > 0$, $x - 2 < 0$, $(x - 1)^2 > 0$ nên $y' < 0$ (nghịch biến) - Khi $x > 2$: $x > 0$, $x - 2 > 0$, $(x - 1)^2 > 0$ nên $y' > 0$ (đồng biến) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ và nghịch biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$. Kết luận - Đáp án đúng là: d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$. Câu 5: a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ vì mẫu số của hàm số là $x-1$, và để hàm số có nghĩa thì mẫu số phải khác 0, tức là $x \neq 1$. b) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Để chứng minh điều này, ta tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{x+3}{x-1} \right)' = \frac{(x+3)'(x-1) - (x+3)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{(1)(x-1) - (x+3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-3}{(x-1)^2} = \frac{-4}{(x-1)^2} $$ Vì $(x-1)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$, nên $y' < 0$ với mọi $x \neq 1$. Điều này chứng tỏ rằng hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, không phải đồng biến. c) Đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 với mọi $x \neq 1$. Như đã tính ở phần b), ta có: $$ y' = \frac{-4}{(x-1)^2} $$ Vì $(x-1)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$, nên $y' < 0$ với mọi $x \neq 1$. Điều này đúng. d) Hàm số đã cho không có cực trị. Vì đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 với mọi $x \neq 1$, hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. Điều này đúng. Tóm lại: a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. b) SAI, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. c) Đúng, đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 với mọi $x \neq 1$. d) Đúng, hàm số đã cho không có cực trị. Câu 6: Để tìm cực trị của hàm số $ y = \sqrt{x^2 + 1} $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 1} \right) $$ Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $$ 2. Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: $$ y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ x = 0 $$ Đạo hàm $ y' $ không xác định khi mẫu số bằng 0, nhưng $ \sqrt{x^2 + 1} \neq 0 $ với mọi $ x $. Do đó, đạo hàm không xác định ở đâu cả. 3. Xét dấu của đạo hàm $ y' $ để xác định tính chất của hàm số: - Khi $ x < 0 $, $ y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} < 0 $ (hàm số giảm). - Khi $ x > 0 $, $ y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} > 0 $ (hàm số tăng). 4. Xác định cực trị: - Tại $ x = 0 $, đạo hàm $ y' $ chuyển từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 0 $. Vậy, hàm số $ y = \sqrt{x^2 + 1} $ đạt cực tiểu tại $ x = 0 $. Đáp án đúng là: c) Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 0 $. Câu 7: Để giải quyết câu hỏi về cực đại và cực tiểu của hàm số $ y = -\frac{1}{2}x^4 + x^2 + \frac{1}{2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left(-\frac{1}{2}x^4 + x^2 + \frac{1}{2}\right)' = -2x^3 + 2x $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 \implies -2x^3 + 2x = 0 \implies 2x(-x^2 + 1) = 0 $$ Điều này dẫn đến: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad -x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số: $$ y'' = (-2x^3 + 2x)' = -6x^2 + 2 $$ - Kiểm tra các giá trị của đạo hàm bậc hai tại các điểm $ x = 0 $ và $ x = \pm 1 $: $$ y''(0) = -6(0)^2 + 2 = 2 > 0 \quad \text{(cực tiểu)} $$ $$ y''(1) = -6(1)^2 + 2 = -4 < 0 \quad \text{(cực đại)} $$ $$ y''(-1) = -6(-1)^2 + 2 = -4 < 0 \quad \text{(cực đại)} $$ 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ y(0) = -\frac{1}{2}(0)^4 + (0)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ - Tại $ x = 1 $: $$ y(1) = -\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1 $$ - Tại $ x = -1 $: $$ y(-1) = -\frac{1}{2}(-1)^4 + (-1)^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1 $$ Kết luận: - Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 0 $ với giá trị cực tiểu là $ y(0) = \frac{1}{2} $. - Hàm số đạt cực đại tại các điểm $ x = \pm 1 $ với giá trị cực đại là $ y(\pm 1) = 1 $. Do đó, đáp án đúng là: c) Hàm số đạt cực đại tại các điểm $ x = \pm 1 $, giá trị cực đại của hàm số là $ y(\pm 1) = 1 $.