Câu 1.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta thấy rằng:
- Hàm số đạt cực đại tại vì chuyển từ dương sang âm.
- Hàm số đạt cực tiểu tại vì chuyển từ âm sang dương.
Như vậy, hàm số có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Do đó, số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.
Đáp án đúng là: B. 2.
Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính khoảng tử phân vị () của cả hai mẫu số liệu ghép nhóm A và B. Khoảng tử phân vị được tính bằng cách lấy hiệu giữa giá trị của phân vị thứ 75% và phân vị thứ 25%.
Bước 1: Tính khoảng tử phân vị của mẫu số liệu A
Tính phân vị thứ 25% (Q1) của mẫu số liệu A:
- Tổng tần số của mẫu số liệu A là 145.
- Vị trí của Q1 là . Do đó, Q1 nằm trong nhóm thứ 2 (nhóm có giới hạn trên là 72,4).
Tính phân vị thứ 75% (Q3) của mẫu số liệu A:
- Vị trí của Q3 là . Do đó, Q3 nằm trong nhóm thứ 4 (nhóm có giới hạn trên là 72,8).
Áp dụng công thức tính phân vị:
Trong đó:
- là giới hạn dưới của nhóm chứa phân vị.
- là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa phân vị.
- là tần số của nhóm chứa phân vị.
- là khoảng cách của nhóm.
Áp dụng vào mẫu số liệu A:
- Nhóm chứa Q1: [72,0; 72,2)
- Nhóm chứa Q3: (72,6; 72,8)
Tính toán cụ thể:
Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu A:
Bước 2: Tính khoảng tử phân vị của mẫu số liệu B
Tính phân vị thứ 25% (Q1) của mẫu số liệu B:
- Tổng tần số của mẫu số liệu B là 23,8.
- Vị trí của Q1 là . Do đó, Q1 nằm trong nhóm thứ 2 (nhóm có giới hạn trên là 72,4).
Tính phân vị thứ 75% (Q3) của mẫu số liệu B:
- Vị trí của Q3 là . Do đó, Q3 nằm trong nhóm thứ 4 (nhóm có giới hạn trên là 72,8).
Áp dụng công thức tính phân vị tương tự:
Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu B:
Kết luận:
So sánh khoảng tử phân vị của hai mẫu số liệu:
Do đó, phát biểu đúng là:
Đáp án: D.
Câu 3.
Để tìm đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của hàm lôgarit cơ số :
Trong trường hợp này, cơ số . Do đó, đạo hàm của là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 4.
Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và trung điểm.
A.
- Ta thấy rằng và không liên quan trực tiếp đến , do đó khẳng định này không đúng.
B.
- Vì I là trung điểm của AB nên .
- J là trung điểm của CD nên .
- O là trung điểm của LJ nên .
- Kết hợp lại ta có .
- Vậy khẳng định này đúng.
C.
- Vì J là trung điểm của CD nên .
- Nhân cả hai vế với 2 ta có .
- Vậy khẳng định này đúng.
D.
- Đây là khẳng định sai vì không thể bằng trừ khi , điều này không phải lúc nào cũng đúng.
Vậy khẳng định sai là D. .
Câu 5.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
Bước 3: Xác định các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất
Các giá trị của hàm số tại các điểm đã xét là:
-
-
-
Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là .
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được khi .
Đáp án đúng là: A. -4.
Câu 6.
Ta có:
Thay các giá trị đã biết vào:
Vậy giá trị của là 22.
Đáp án đúng là: A. 22.
Câu 7.
Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang:
- Tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là . Do đó, .
- Tiệm cận ngang: Xảy ra khi tiến đến vô cùng. Ta có:
Vậy tiệm cận ngang là .
2. Tìm tâm đối xứng:
- Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất nằm ở giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Giao điểm của và là .
Do đó, tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là .
Đáp án: B. .
Câu 8.
Cấp số cộng có và công sai .
Ta có công thức tổng quát của dãy số cộng:
Thay các giá trị vào công thức trên:
Bây giờ, ta cần tìm giá trị của :
Vậy giá trị của là .