giải chi tiết Câu 6: Xét trên hệ trục tọa độ Oxyz với đơn vị mỗi hệ trục là km. Một chiếc cano (xem như là một chất,điểm) thực hiện biểu diễn nghệ thuật lái xung quanh hai cột có tọa độ $A(-3;0;0)$ và $B(3;0;0)$ theo quỹ đạo,sao cho tổng khoảng cách từ chiếc cano đến hai chiếc cột luôn bằng $2\sqrt{34}(km).$ Gọi $C(0;5;1)$ là vị trí đỉnh,của ngọn hải đăng. Khi ấy khoảng cách ngắn nhất giữa chiếc cano và đỉnh ngọn hải đăng là bao nhiêu km?

Question

Accepted Answer

Câu 6:
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng chiếc cano di chuyển theo quỹ đạo sao cho tổng khoảng cách từ chiếc cano đến hai chiếc cột luôn bằng $2\sqrt{34}$. Điều này cho thấy chiếc cano di chuyển theo hình elip với hai tiêu điểm là $A(-3;0;0)$ và $B(3;0;0)$ và tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm trên elip đến hai tiêu điểm là $2\sqrt{34}$.

Trong hình elip, ta có:
- Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $2c$, trong đó $c = 3$.
- Tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm trên elip đến hai tiêu điểm là $2a$, trong đó $a = \sqrt{34}$.

Ta tính bán kính trục nhỏ $b$ của elip bằng công thức:
$$ b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5 $$

Do đó, phương trình của elip là:
$$ \frac{x^2}{34} + \frac{y^2}{25} = 1 $$

Tiếp theo, ta cần tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chiếc cano và đỉnh ngọn hải đăng $C(0;5;1)$. Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ một điểm đến một đường cong.

Khoảng cách từ điểm $(x,y,z)$ đến điểm $C(0,5,1)$ là:
$$ d = \sqrt{(x-0)^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2} $$

Vì chiếc cano nằm trên mặt phẳng $z=0$, ta có:
$$ d = \sqrt{x^2 + (y-5)^2 + 1} $$

Thay $x^2 = 34 - \frac{34}{25} y^2$ vào biểu thức khoảng cách:
$$ d = \sqrt{34 - \frac{34}{25} y^2 + (y-5)^2 + 1} $$
$$ d = \sqrt{34 - \frac{34}{25} y^2 + y^2 - 10y + 25 + 1} $$
$$ d = \sqrt{60 - \frac{9}{25} y^2 - 10y} $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $d$, ta tìm đạo hàm của $d^2$ theo $y$ và đặt nó bằng 0:
$$ f(y) = 60 - \frac{9}{25} y^2 - 10y $$
$$ f'(y) = -\frac{18}{25} y - 10 $$
$$ -\frac{18}{25} y - 10 = 0 $$
$$ y = -\frac{250}{18} = -\frac{125}{9} $$

Tuy nhiên, giá trị này không nằm trong khoảng $[-5, 5]$ vì $y$ phải nằm trong khoảng này do ràng buộc của elip. Do đó, ta kiểm tra tại các biên $y = -5$ và $y = 5$:
- Khi $y = -5$: 
$$ x^2 = 34 - \frac{34}{25} (-5)^2 = 34 - 34 = 0 \Rightarrow x = 0 $$
$$ d = \sqrt{0 + (0-5)^2 + 1} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} $$

- Khi $y = 5$: 
$$ x^2 = 34 - \frac{34}{25} (5)^2 = 34 - 34 = 0 \Rightarrow x = 0 $$
$$ d = \sqrt{0 + (5-5)^2 + 1} = \sqrt{0 + 0 + 1} = 1 $$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa chiếc cano và đỉnh ngọn hải đăng là $1$ km.