giúp mình với ạ Câu 1,Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí,một thiết bị định vị tại điểm cố định $A(1;0;2)$ trong,không gian ba chiều với hệ tọa độ Oxyz (các đơn vị tọa,độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời,với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo,đường thẳng $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y+1}2=\frac{z-4}{-1},$ cảm biến thứ,hai được gắn trên mặt phẳng $(\alpha):2x-y+z+1=0.$,Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền,BC, trong đó B nằm trên đường thẳng $\Delta,C$ nằm trên,mặt phẳng (&) và thiết bị định vị tại A là trung điểm của,đoạn BC. Biết rằng đường thẳng BC có một véctơ chỉ,phương $\overrightarrow u=(-2;a;b),$ hãy tính giá trị $a+2b.$

Question

Accepted Answer

Câu 1
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm B và C.
2. Xác định điều kiện để A là trung điểm của đoạn BC.
3. Tính giá trị của $a$ và $b$ từ điều kiện trung điểm.
4. Tính giá trị của $a + 2b$.

Bước 1: Tìm tọa độ của điểm B và C.

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
$$ 
\begin{cases}
x = 3 + t \
y = -1 + 2t \
z = 4 - t
\end{cases}
$$
Do đó, tọa độ của điểm B là $B(3 + t, -1 + 2t, 4 - t)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình:
$$ 2x - y + z + 1 = 0 $$

Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (-2, a, b)$. Vì A là trung điểm của đoạn BC, ta có:
$$ 
\begin{cases}
1 = \frac{(3 + t) + x_C}{2} \
0 = \frac{(-1 + 2t) + y_C}{2} \
2 = \frac{(4 - t) + z_C}{2}
\end{cases}
$$

Từ đây, ta suy ra:
$$ 
\begin{cases}
2 = (3 + t) + x_C \
0 = (-1 + 2t) + y_C \
4 = (4 - t) + z_C
\end{cases}
$$

Bước 2: Xác định điều kiện để A là trung điểm của đoạn BC.

Từ các phương trình trên, ta có:
$$ 
\begin{cases}
x_C = -1 - t \
y_C = 1 - 2t \
z_C = t
\end{cases}
$$

Bước 3: Thay tọa độ của C vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$:
$$ 2(-1 - t) - (1 - 2t) + t + 1 = 0 $$
$$ -2 - 2t - 1 + 2t + t + 1 = 0 $$
$$ -2 + t = 0 $$
$$ t = 2 $$

Thay $t = 2$ vào tọa độ của B và C:
$$ B(3 + 2, -1 + 2 \cdot 2, 4 - 2) = B(5, 3, 2) $$
$$ C(-1 - 2, 1 - 2 \cdot 2, 2) = C(-3, -3, 2) $$

Bước 4: Tính giá trị của $a$ và $b$ từ điều kiện trung điểm.

Véctơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}$ là:
$$ \overrightarrow{BC} = C - B = (-3 - 5, -3 - 3, 2 - 2) = (-8, -6, 0) $$

So sánh với $\overrightarrow{u} = (-2, a, b)$, ta có:
$$ 
\begin{cases}
-2k = -8 \
ak = -6 \
bk = 0
\end{cases}
$$

Từ $-2k = -8$, ta có $k = 4$.

Thay $k = 4$ vào các phương trình còn lại:
$$ 
\begin{cases}
a \cdot 4 = -6 \
b \cdot 4 = 0
\end{cases}
$$

Suy ra:
$$ 
\begin{cases}
a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \
b = 0
\end{cases}
$$

Cuối cùng, tính giá trị của $a + 2b$:
$$ a + 2b = -\frac{3}{2} + 2 \cdot 0 = -\frac{3}{2} $$

Đáp số: $a + 2b = -\frac{3}{2}$.