Giúp mình với! Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng $2\sqrt2.$ Tính khoảng,cách giữa hai đường thẳng AB và SD (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và vectơ:
   - Gọi O là tâm của đáy ABCD.
   - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy ABCD.
   - Ta có SO là đường cao của hình chóp.

2. Tính chiều dài SO:
   - Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, SO vuông góc với đáy ABCD.
   - Tam giác SOA là tam giác vuông tại O.
   - Cạnh đáy AB = 2, nên OA = $\frac{AB}{2} = 1$.
   - Cạnh bên SA = $2\sqrt{2}$.
   - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA:
     $$
     SO^2 + OA^2 = SA^2 \implies SO^2 + 1^2 = (2\sqrt{2})^2 \implies SO^2 + 1 = 8 \implies SO^2 = 7 \implies SO = \sqrt{7}
     $$

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAB):
   - Mặt phẳng (SAB) có hai vectơ AB và SA.
   - Vectơ AB = (2, 0, 0).
   - Vectơ SA = (1, 0, $\sqrt{7}$).
   - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SAB) là tích vector của AB và SA:
     $$
     \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{SA} = \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     2 & 0 & 0 \
     1 & 0 & \sqrt{7}
     \end{vmatrix} = (0, -2\sqrt{7}, 0)
     $$
   - Ta chọn vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (0, -2\sqrt{7}, 0)$.

4. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB):
   - Phương trình mặt phẳng (SAB) có dạng: $0x - 2\sqrt{7}y + 0z + d = 0$.
   - Thay tọa độ điểm S(0, 0, $\sqrt{7}$) vào phương trình mặt phẳng để tìm d:
     $$
     0 \cdot 0 - 2\sqrt{7} \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{7} + d = 0 \implies d = 0
     $$
   - Phương trình mặt phẳng (SAB) là: $-2\sqrt{7}y = 0$ hoặc $y = 0$.
   - Tọa độ điểm D là (2, 2, 0).
   - Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) là:
     $$
     d = \frac{|-2\sqrt{7} \cdot 2|}{\sqrt{(0)^2 + (-2\sqrt{7})^2 + (0)^2}} = \frac{|-4\sqrt{7}|}{2\sqrt{7}} = 2
     $$

5. Kết luận:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là 2.

Đáp số: 2.