Câu 7.
Để xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm giá trị của mà tại đó hàm số có hành vi bất thường hoặc không xác định. Cụ thể, đường tiệm cận đứng là đường thẳng sao cho khi tiến đến , giá trị của hàm số tiến đến vô cùng ( hoặc ).
Trong hình vẽ, ta thấy rằng khi tiến đến giá trị , giá trị của hàm số tiến đến từ phía trái và tiến đến từ phía phải. Điều này cho thấy là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó, đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 8.
Để giải bất phương trình , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với bất phương trình , ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương:
2. Giải bất phương trình logarit:
- Ta có . Điều này tương đương với:
- Giải bất phương trình này:
3. Xác định tập nghiệm:
- Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bước 2, ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Đáp án:
Câu 1.
Ta có:
Áp dụng tính chất của tích phân, ta có:
Tích phân của hằng số 1 từ 0 đến 2 là:
Do đó:
Biết rằng , ta thay vào:
Giải phương trình này để tìm :
Vậy đáp án đúng là:
Câu 9.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông tin đã cho:
- Tam giác ABC là tam giác đều với cạnh a.
- SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2. Xác định diện tích đáy ABC:
- Diện tích tam giác đều ABC là .
3. Xác định chiều cao SA:
- Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA chính là chiều cao của hình chóp từ đỉnh S hạ xuống đáy ABC.
4. Tính thể tích của hình chóp S.ABC:
- Công thức tính thể tích của hình chóp là .
- Thay vào công thức, ta có:
Vậy thể tích của hình chóp S.ABC là .
Câu 2.
Để xác định tọa độ của , ta lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A.
Vậy tọa độ của là .
Đáp án đúng là:
Để tính thể tích của hình chóp SABC, ta cần biết diện tích đáy ABC và chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABC).
Diện tích đáy ABC:
- Ta tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron hoặc bằng cách sử dụng tọa độ của các đỉnh.
Chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABC):
- Ta cần biết tọa độ của đỉnh S để tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Thể tích của hình chóp SABC:
Do đó, để tính thể tích của hình chóp SABC, ta cần thêm thông tin về tọa độ của đỉnh S và diện tích đáy ABC.
Đáp án đúng là:
Câu 10.
Cấp số cộng (u,) có các số hạng và . Ta cần tìm số hạng thứ 10 của cấp số này.
Trước tiên, ta xác định công sai của cấp số cộng:
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:
Áp dụng công thức trên để tìm số hạng thứ 10:
Như vậy, số hạng thứ 10 của cấp số cộng là 29. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có số 29. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho.
Tuy nhiên, nếu chúng ta kiểm tra lại các đáp án đã cho, ta thấy rằng không có số 29 trong các lựa chọn. Vì vậy, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các đáp án đã cho.
Đáp án đúng là: 29 (không có trong các lựa chọn đã cho).
Câu 3.
Để lập luận từng bước về việc xét mẫu số liệu ghép nhóm từ Bảng 1, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các nhóm: Xác định các nhóm trong bảng dữ liệu. Mỗi nhóm sẽ có một khoảng giá trị cụ thể.
2. Tính tần số của mỗi nhóm: Tính số lượng các giá trị thuộc mỗi nhóm.
3. Tính tần suất tương đối của mỗi nhóm: Tính tỷ lệ phần trăm của tần số mỗi nhóm so với tổng số giá trị trong mẫu.
4. Tính trung vị: Xác định giá trị trung vị của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần.
5. Tính trung bình cộng: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu bằng cách lấy tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị.
6. Tính phương sai và độ lệch chuẩn: Tính phương sai và độ lệch chuẩn để đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu.
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các bước này vào Bảng 1.
Bước 1: Xác định các nhóm
Giả sử Bảng 1 có các nhóm như sau:
- Nhóm 1: 0 - 10
- Nhóm 2: 11 - 20
- Nhóm 3: 21 - 30
- Nhóm 4: 31 - 40
Bước 2: Tính tần số của mỗi nhóm
Giả sử tần số của các nhóm là:
- Nhóm 1: 5
- Nhóm 2: 10
- Nhóm 3: 15
- Nhóm 4: 10
Bước 3: Tính tần suất tương đối của mỗi nhóm
Tổng số giá trị trong mẫu là 40 (5 + 10 + 15 + 10).
- Tần suất tương đối của Nhóm 1:
- Tần suất tương đối của Nhóm 2:
- Tần suất tương đối của Nhóm 3:
- Tần suất tương đối của Nhóm 4:
Bước 4: Tính trung vị
Trung vị nằm ở vị trí , tức là giữa giá trị thứ 20 và 21. Vì vậy, trung vị nằm trong Nhóm 3 (21 - 30).
Bước 5: Tính trung bình cộng
Giả sử giá trị trung tâm của các nhóm là:
- Nhóm 1: 5
- Nhóm 2: 15
- Nhóm 3: 25
- Nhóm 4: 35
Trung bình cộng:
Bước 6: Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Phương sai:
Độ lệch chuẩn:
Kết luận
- Mẫu số liệu được chia thành 4 nhóm với tần số và tần suất tương đối đã tính toán.
- Trung vị của mẫu số liệu nằm trong Nhóm 3 (21 - 30).
- Trung bình cộng của mẫu số liệu là 22.5.
- Phương sai của mẫu số liệu là 93.75 và độ lệch chuẩn là khoảng 9.68.
Đây là cách lập luận từng bước về việc xét mẫu số liệu ghép nhóm từ Bảng 1.
Câu 11.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ trong hình hộp. Cụ thể, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc tam giác để tìm tổng của hai vectơ.
Trước tiên, hãy xem xét các vectơ liên quan:
- là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh A' (đỉnh đối diện trên cùng một cạnh đứng).
- là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C (đỉnh đối diện trên cùng một mặt đáy).
Theo quy tắc tam giác, tổng của hai vectơ và sẽ là vectơ từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai. Do đó, ta có:
Nhìn vào hình hộp, ta thấy rằng vectơ chính là vectơ từ đỉnh A' đến đỉnh C'. Vì vậy, phát biểu đúng là:
Đáp án: D.
Câu 12.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị trên của khoảng trừ đi giá trị dưới của khoảng đó.
Trong bảng biến thiên của hàm số, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị trên của khoảng trừ đi giá trị dưới của khoảng đó. Điều này tương ứng với công thức .
Do đó, đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 4.
Nguyên hàm của hàm số là . Do đó, đáp án đúng là:
Tiếp theo, để xác định khoảng nào hàm số nghịch biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số này.
Đạo hàm của là:
Hàm số nghịch biến khi đạo hàm , tức là:
Ta biết rằng trong các khoảng:
Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng:
Vậy, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng:
Đáp án cuối cùng là:
Câu 5.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại các cơ số dưới dạng cùng cơ số:
- Ta biết rằng và .
- Do đó, phương trình trở thành:
2. Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:
-
-
3. Tương đương phương trình:
- Ta có phương trình:
- Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, nên ta có:
4. Giải phương trình bậc nhất:
- Mở ngoặc và thu gọn:
- Chuyển các hạng tử liên quan đến sang một vế và các hằng số sang vế còn lại:
- Chia cả hai vế cho 8:
5. Kiểm tra điều kiện xác định:
- Phương trình ban đầu không có điều kiện hạn chế nào khác ngoài việc phải là số thực.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 6.
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng là điểm có tọa độ .
Lập luận từng bước:
1. Mặt phẳng có phương trình là .
2. Khi hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng , tọa độ của điểm đó sẽ là 0.
3. Tọa độ và của điểm sẽ giữ nguyên như tọa độ và của điểm .
Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng là điểm .
Đáp án: Điểm .
Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng đạo hàm của hàm lợi nhuận sẽ cho biết tốc độ tăng của lợi nhuận khi số lượng sản phẩm bán được thay đổi.
Giả sử hàm lợi nhuận đã được cho dưới dạng một đa thức bậc ba:
Đạo hàm của hàm này sẽ là:
Lợi nhuận cận biên cho biết tốc độ tăng của lợi nhuận khi số lượng sản phẩm bán được thay đổi. Để tìm giá trị cụ thể của tại một điểm nào đó, chúng ta cần biết các hệ số .
Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta chưa có thông tin về các hệ số cụ thể. Do đó, chúng ta cần thêm thông tin để tiếp tục giải quyết bài toán.
Nếu giả sử rằng chúng ta có các điểm dữ liệu hoặc các giá trị cụ thể của tại các điểm khác nhau, chúng ta có thể sử dụng chúng để tìm các hệ số và sau đó tính đạo hàm .
Ví dụ, nếu chúng ta biết rằng:
-
-
-
Chúng ta có thể sử dụng các điểm này để lập hệ phương trình và tìm các hệ số .
Từ đó, chúng ta có thể tính đạo hàm và tìm giá trị của nó tại các điểm cần thiết.
Tuy nhiên, do thiếu thông tin cụ thể, chúng ta không thể hoàn thành bài toán này một cách đầy đủ. Nếu bạn có thêm thông tin về các điểm dữ liệu hoặc các giá trị cụ thể của , chúng ta có thể tiếp tục giải quyết bài toán.