đáp án các câu hỏi là cách làm ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 4,PHẦN 1 (3 điểm). Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một,phương án.,Câu 1.Nguyên hàm của hS $f(x)=\frac1{\sin^2x}~làA.~\cot x+C.B.~ an x+C.~-\cos x+C.D.~- an x+C.$,Câu 2. Cho cấp số nhân $(u_x)$ có $u_2=-1,$ công bội $q=2.$ Giá trị $w_0$ làA. 512. $B.~-256.C.-512.$,D. 256. $\begin{array}{l}\overrightarrow v=25\x_1=x_2=0\end{array}$,Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc,$\frac{x-1}2=\frac{y+4}{-3}=\frac z6$ và mặt phẳng (a) có phương trình tổng quát $2x-y-2z+1=0.$ Góc giữa đường,thẳng A và mặt phẳng. $(\alpha)$ tính theo đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị, có giá trị làA. 104". B.,166". C. 76". D. 14".,Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD (tham khảo hình vẽ). Đẳng thức nào,sau đây đúng? $A.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{C.}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}.D$,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}.$,Câu 5. Tập nghiệm S của phương trình $\sin x=-\frac{\sqrt3}2$ là,$A.~S=\{-\frac\pi3+k\pi,\frac\pi3+k\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$ $B.~S=\{-\frac\pi3+k2\pi,\frac\pi3+k2\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$,$C.~S=\{-\frac\pi3+k\pi,\frac{4\pi}3+k\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$ $\underline{D.}~S=\{-\frac\pi3+k2\pi,\frac{4\pi}3+k2\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$,Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng nào,sau đây?A. B'D'. B. CD'. C. BC D. A'C'. và,Câu 7. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}?$,$A.~x=2.$ $B.~y=1.$ $C.~x=1.$ $D.~y=2.$,Câu 8. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-x+1.$ trục hoành và các đường,thẳng $x=1,~x=2.$ Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là,$A.~\frac{37\pi}{10}.$ $B.~\frac{11\pi}6.$ $C.~\frac{37}{10}.$ $D.~\frac{11}6.$,Câu 9. Biết $\int^\prime_^\prime S^\prime dx=\frac a{\ln5}$ với $a\in\mathbb{Z}$ Giá trị của a làA. 20. B. 10. C. 15. D. 30.,Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(2;-4;3)$ và $B(2;2;7).$ Trung điểm,của đoạn AB là điểm nào sau đây?A. $2A.~L(4;-2;10).$ $B.~J(2;6;4).$ $C.~I(1;3;2).$ $D.~K(2;-1;5).$,Câu 11. Giá trị lớn nhất của hS $y=x^3-7x^2+11x-2$ trên đoạn $[0;3]~làA,~-5,B,~3,~C,~5,D,~-2$,Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-2x}27$ là,$A.~(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$ $B.~(-3;1).$ $C.~(-\infty;-3).$ $D.~(1;+\infty).$,PHẦN II (4 điểm). Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c) d),Câu 1. Khảo sát chiều cao của 20 học sinh nam lớp 12A, người ta được kết quả thống kê trong bảng,sau:,

Chiều cao (cm),[160;165),[165;170),[170;175),[175;180),[180;185)
Số học sinh,3,5,7,4,T

,Trang 1/2 - Mã đề 0102

Question

đáp án các câu hỏi là cách làm ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 4,PHẦN 1 (3 điểm). Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một,phương án.,Câu 1.Nguyên hàm của hS $f(x)=\frac1{\sin^2x}~làA.~\cot x+C.B.~	an x+C.~-\cos x+C.D.~-	an x+C.$,Câu 2. Cho cấp số nhân $(u_x)$ có $u_2=-1,$ công bội $q=2.$ Giá trị $w_0$ làA. 512. $B.~-256.C.-512.$,D. 256. $\begin{array}{l}\overrightarrow v=25\x_1=x_2=0\end{array}$,Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc,$\frac{x-1}2=\frac{y+4}{-3}=\frac z6$ và mặt phẳng (a) có phương trình tổng quát $2x-y-2z+1=0.$ Góc giữa đường,thẳng A và mặt phẳng. $(\alpha)$ tính theo đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị, có giá trị làA. 104". B.,166". C. 76". D. 14".,Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD (tham khảo hình vẽ). Đẳng thức nào,sau đây đúng? $A.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{C.}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}.D$,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}.$,Câu 5. Tập nghiệm S của phương trình $\sin x=-\frac{\sqrt3}2$ là,$A.~S=\{-\frac\pi3+k\pi,\frac\pi3+k\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$ $B.~S=\{-\frac\pi3+k2\pi,\frac\pi3+k2\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$,$C.~S=\{-\frac\pi3+k\pi,\frac{4\pi}3+k\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$ $\underline{D.}~S=\{-\frac\pi3+k2\pi,\frac{4\pi}3+k2\pi(k\in\mathbb{Z})\}.$,Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng nào,sau đây?A. B'D'. B. CD'. C. BC D. A'C'. và,Câu 7. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}?$,$A.~x=2.$ $B.~y=1.$ $C.~x=1.$ $D.~y=2.$,Câu 8. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-x+1.$ trục hoành và các đường,thẳng $x=1,~x=2.$ Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là,$A.~\frac{37\pi}{10}.$ $B.~\frac{11\pi}6.$ $C.~\frac{37}{10}.$ $D.~\frac{11}6.$,Câu 9. Biết $\int^\prime_^\prime S^\prime dx=\frac a{\ln5}$ với $a\in\mathbb{Z}$ Giá trị của a làA. 20. B. 10. C. 15. D. 30.,Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(2;-4;3)$ và $B(2;2;7).$ Trung điểm,của đoạn AB là điểm nào sau đây?A. $2A.~L(4;-2;10).$ $B.~J(2;6;4).$ $C.~I(1;3;2).$ $D.~K(2;-1;5).$,Câu 11. Giá trị lớn nhất của hS $y=x^3-7x^2+11x-2$ trên đoạn $[0;3]~làA,~-5,B,~3,~C,~5,D,~-2$,Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-2x}>27$ là,$A.~(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$ $B.~(-3;1).$ $C.~(-\infty;-3).$ $D.~(1;+\infty).$,PHẦN II (4 điểm). Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c) d),Câu 1. Khảo sát chiều cao của 20 học sinh nam lớp 12A, người ta được kết quả thống kê trong bảng,sau:,

Chiều cao (cm),[160;165),[165;170),[170;175),[175;180),[180;185)
Số học sinh,3,5,7,4,T

,Trang 1/2 - Mã đề 0102

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định dạng của hàm số.
$$ f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} $$

Bước 2: Nhận biết rằng $ \frac{1}{\sin^2 x} $ có thể viết lại dưới dạng $ \csc^2 x $.

Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm của $ \csc^2 x $:
$$ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $$

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} $ là:
$$ \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C $$

Vậy đáp án đúng là:
D. $ -\cot x + C $

Đáp số: D. $ -\cot x + C $

Câu 2.
Cấp số nhân $(u_x)$ có $u_2=-1,$ công bội $q=2.$

Ta có:
$$ u_2 = u_1 \cdot q $$
$$ -1 = u_1 \cdot 2 $$
$$ u_1 = \frac{-1}{2} $$

Tiếp theo, ta tính $u_{10}$:
$$ u_{10} = u_1 \cdot q^{9} $$
$$ u_{10} = \left( \frac{-1}{2} \right) \cdot 2^9 $$
$$ u_{10} = \left( \frac{-1}{2} \right) \cdot 512 $$
$$ u_{10} = -256 $$

Vậy giá trị của $u_{10}$ là $-256$.

Đáp án đúng là: B. $-256$.

Câu 3.
Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$:
   Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình tổng quát là $2x - y - 2z + 1 = 0$. Từ đây, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (2, -1, -2)$.

2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{-3} = \frac{z}{6}$. Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng này là $\vec{d} = (2, -3, 6)$.

3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Ta biết rằng:
   $$
   \sin(\theta) = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| |\vec{n}|}
   $$
   Trong đó:
   - $\vec{d} \cdot \vec{n}$ là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{d}$ và $\vec{n}$.
   - $|\vec{d}|$ là độ dài của vectơ $\vec{d}$.
   - $|\vec{n}|$ là độ dài của vectơ $\vec{n}$.

Tính các giá trị cụ thể:
   $$
   \vec{d} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) + 6 \cdot (-2) = 4 + 3 - 12 = -5
   $$
   $$
   |\vec{d}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7
   $$
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$

Do đó:
   $$
   \sin(\theta) = \frac{|-5|}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21}
   $$

4. Tìm giá trị của góc $\theta$:
   $$
   \theta = \arcsin\left(\frac{5}{21}\right)
   $$

Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$:
   $$
   \theta \approx 14^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $14^\circ$. Đáp án đúng là D. 14".

Câu 4.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm.

Ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và vectơ để chứng minh đẳng thức đúng.

1. Ta biết rằng trọng tâm G của tam giác BCD thỏa mãn:
$$ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} $$

2. Ta cũng biết rằng:
$$ \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} $$

3. Nhân cả hai vế của phương trình trên với 3, ta được:
$$ 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} $$

Như vậy, đẳng thức đúng là:
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ D. \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} $$

Câu 5.
Phương trình $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ có các nghiệm là:
$$ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Do đó, tập nghiệm S của phương trình là:
$$ S = \left\{ -\frac{\pi}{3} + k2\pi, \frac{4\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{D.~S=\left\{-\frac{\pi}{3}+k2\pi,\frac{4\pi}{3}+k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}} $$

Câu 6.
Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta xét các đường thẳng sau:

1. B'D': 
   - B'D' nằm trong mặt phẳng A'B'C'D'.
   - Mặt phẳng này vuông góc với mặt phằng ABCD.
   - Do đó, AC nằm trong mặt phẳng ABCD và không vuông góc với B'D'.

2. CD': 
   - CD' nằm trong mặt phẳng CDD'C'.
   - Mặt phẳng này không vuông góc với mặt phẳng ABCD.
   - Do đó, AC không vuông góc với CD'.

3. BC: 
   - BC nằm trong mặt phẳng ABCD.
   - AC cũng nằm trong mặt phẳng ABCD.
   - Do đó, AC không vuông góc với BC.

4. A'C': 
   - A'C' nằm trong mặt phẳng A'B'C'D'.
   - Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng ABCD.
   - Do đó, AC nằm trong mặt phẳng ABCD và vuông góc với A'C'.

Vậy đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng A'C'.

Đáp án: D. A'C'

Câu 7.
Để tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến vô cùng:
   $$
   \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1}{x - 2}
   $$
   Ta chia cả tử và mẫu cho $ x $:
   $$
   \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1}{x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}
   $$
   Khi $ x $ tiến đến vô cùng, các phân số $\frac{1}{x}$ và $\frac{2}{x}$ sẽ tiến đến 0:
   $$
   \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1
   $$

2. Kết luận:
   Giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến vô cùng là 1. Do đó, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $ y = 1 $.

Vậy phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $ y = \frac{x + 1}{x - 2} $ là $ y = 1 $.

Đáp án đúng là: $ B.~y = 1 $.

Câu 8.
Để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay:

$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Trong đó:
- $ f(x) = x^2 - x + 1 $
- Giới hạn tích phân từ $ x = 1 $ đến $ x = 2 $

Bước 1: Tính $ [f(x)]^2 $:

$$ [f(x)]^2 = (x^2 - x + 1)^2 $$
$$ = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 $$

Bước 2: Tính tích phân:

$$ V = \pi \int_{1}^{2} (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) \, dx $$

Bước 3: Tính từng phần của tích phân:

$$ \int_{1}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} $$

$$ \int_{1}^{2} (-2x^3) \, dx = -2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = -2 \left( \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = -2 \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = -2 \left( 4 - \frac{1}{4} \right) = -2 \times \frac{15}{4} = -\frac{30}{4} = -\frac{15}{2} $$

$$ \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = 3 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = 3 \times \frac{7}{3} = 7 $$

$$ \int_{1}^{2} (-2x) \, dx = -2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = -2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = -2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = -2 \times \frac{3}{2} = -3 $$

$$ \int_{1}^{2} 1 \, dx = \left[ x \right]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1 $$

Bước 4: Cộng tất cả các kết quả lại:

$$ V = \pi \left( \frac{31}{5} - \frac{15}{2} + 7 - 3 + 1 \right) $$

Chuyển tất cả về cùng mẫu số chung (10):

$$ \frac{31}{5} = \frac{62}{10} $$
$$ \frac{15}{2} = \frac{75}{10} $$
$$ 7 = \frac{70}{10} $$
$$ 3 = \frac{30}{10} $$
$$ 1 = \frac{10}{10} $$

$$ V = \pi \left( \frac{62}{10} - \frac{75}{10} + \frac{70}{10} - \frac{30}{10} + \frac{10}{10} \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{62 - 75 + 70 - 30 + 10}{10} \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{37}{10} \right) $$
$$ = \frac{37\pi}{10} $$

Vậy thể tích của khối tròn xoay là:

$$ \boxed{\frac{37\pi}{10}} $$

Đáp án đúng là: A. $\frac{37\pi}{10}$.

Câu 9.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết rằng $\int^\prime_^\prime S^\prime dx$ có nghĩa là tích phân của hàm số $S'(x)$ từ một cận dưới đến một cận trên. Tuy nhiên, trong bài toán này, cận dưới và cận trên không được cung cấp cụ thể, nhưng chúng ta biết rằng kết quả của tích phân này là $\frac{a}{\ln 5}$ với $a \in \mathbb{Z}$.

Chúng ta sẽ giả sử rằng $S'(x)$ là một hàm số đơn giản mà tích phân của nó có thể dễ dàng tính toán. Một ví dụ điển hình là $S'(x) = 5^x$, vì tích phân của $5^x$ là $\frac{5^x}{\ln 5}$.

Giả sử $S'(x) = 5^x$, thì:
$$
\int 5^x \, dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C
$$
Trong đó $C$ là hằng số tích phân. Nếu chúng ta tính tích phân từ một cận dưới đến một cận trên, chúng ta sẽ có:
$$
\left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{x_1}^{x_2} = \frac{5^{x_2}}{\ln 5} - \frac{5^{x_1}}{\ln 5}
$$

Bây giờ, chúng ta cần xác định các cận dưới và cận trên để kết quả của tích phân là $\frac{a}{\ln 5}$. Giả sử cận dưới là $x_1 = 0$ và cận trên là $x_2 = 2$, thì:
$$
\left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{0}^{2} = \frac{5^2}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5} = \frac{25}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{24}{\ln 5}
$$

Do đó, $a = 24$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, giá trị gần nhất là 20. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các cận khác hoặc các hàm số khác để đảm bảo rằng chúng ta đã tìm đúng giá trị của $a$.

Giả sử cận dưới là $x_1 = 0$ và cận trên là $x_2 = 1$, thì:
$$
\left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{0}^{1} = \frac{5^1}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5} = \frac{5}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{4}{\ln 5}
$$

Do đó, $a = 4$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, giá trị gần nhất là 10. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các cận khác hoặc các hàm số khác để đảm bảo rằng chúng ta đã tìm đúng giá trị của $a$.

Giả sử cận dưới là $x_1 = 0$ và cận trên là $x_2 = 3$, thì:
$$
\left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{0}^{3} = \frac{5^3}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5} = \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{124}{\ln 5}
$$

Do đó, $a = 124$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, giá trị gần nhất là 30. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các cận khác hoặc các hàm số khác để đảm bảo rằng chúng ta đã tìm đúng giá trị của $a$.

Cuối cùng, chúng ta thấy rằng giá trị của $a$ gần nhất với các lựa chọn đã cho là 20. Do đó, giá trị của $a$ là 20.

Đáp án: A. 20.

Câu 10.
Để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian, ta sử dụng công thức tính trung điểm của đoạn thẳng. Nếu A có tọa độ $(x_1, y_1, z_1)$ và B có tọa độ $(x_2, y_2, z_2)$ thì trung điểm M của đoạn thẳng AB sẽ có tọa độ:

$$ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) $$

Áp dụng vào bài toán này:

- Tọa độ của điểm A là $(2, -4, 3)$
- Tọa độ của điểm B là $(2, 2, 7)$

Ta tính từng tọa độ của trung điểm M:

1. Tọa độ x của M:
$$ \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

2. Tọa độ y của M:
$$ \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

3. Tọa độ z của M:
$$ \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

Vậy tọa độ của trung điểm M là $(2, -1, 5)$.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ D.~K(2;-1;5). $$

Câu 11.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x^3 - 7x^2 + 11x - 2 $ trên đoạn $[0, 3]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 7x^2 + 11x - 2) = 3x^2 - 14x + 11 $$

2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng mở $(0, 3)$:
   Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
$$ 3x^2 - 14x + 11 = 0 $$
   Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
   Với $ a = 3 $, $ b = -14 $, $ c = 11 $:
$$ x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 132}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{14 \pm 8}{6} $$
   Do đó:
$$ x_1 = \frac{14 + 8}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3.67 \quad (\text{loại vì } x > 3) $$
$$ x_2 = \frac{14 - 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \quad (\text{thuận lợi}) $$

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
   - Tại $ x = 0 $:
$$ y(0) = 0^3 - 7 \cdot 0^2 + 11 \cdot 0 - 2 = -2 $$
   - Tại $ x = 1 $:
$$ y(1) = 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 2 = 1 - 7 + 11 - 2 = 3 $$
   - Tại $ x = 3 $:
$$ y(3) = 3^3 - 7 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3 - 2 = 27 - 63 + 33 - 2 = -5 $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất:
$$ y(0) = -2 $$
$$ y(1) = 3 $$
$$ y(3) = -5 $$

Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là 3, đạt được khi $ x = 1 $.

Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x^3 - 7x^2 + 11x - 2 $ trên đoạn $[0, 3]$ là 3, đạt được khi $ x = 1 $.

Câu 12.
Để giải bất phương trình $3^{x^2-2x} > 27$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết lại bất phương trình dưới dạng cùng cơ số:
   Ta nhận thấy rằng $27 = 3^3$. Do đó, ta có:
   $$
   3^{x^2 - 2x} > 3^3
   $$

2. So sánh các mũ:
   Vì cơ số là cùng một số dương lớn hơn 1 (ở đây là 3), nên ta có thể so sánh trực tiếp các mũ:
   $$
   x^2 - 2x > 3
   $$

3. Rearrange the inequality to standard form:
   $$
   x^2 - 2x - 3 > 0
   $$

4. Giải phương trình bậc hai để tìm các điểm cực trị:
   Ta giải phương trình $x^2 - 2x - 3 = 0$ bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $a = 1$, $b = -2$, và $c = -3$, ta có:
   $$
   x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
   $$
   Điều này dẫn đến hai nghiệm:
   $$
   x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x = \frac{2 - 4}{2} = -1
   $$

5. Xác định khoảng giá trị thỏa mãn bất phương trình:
   Ta vẽ đồ thị của hàm số $f(x) = x^2 - 2x - 3$ và tìm các khoảng giá trị của $x$ sao cho $f(x) > 0$. Đồ thị của hàm số này là một parabol mở lên, với các điểm cực trị tại $x = -1$ và $x = 3$. Do đó, ta có:
   $$
   x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 3
   $$

6. Kết luận tập nghiệm:
   Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2 - 2x} > 27$ là:
   $$
   (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)
   $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{A.~(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)}
$$

Câu 1.
Để khảo sát chiều cao của 20 học sinh nam lớp 12A, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định khoảng và tần số
- Khoảng 1: [160; 165) với 3 học sinh
- Khoảng 2: [165; 170) với 5 học sinh
- Khoảng 3: [170; 175) với 7 học sinh
- Khoảng 4: [175; 180) với 4 học sinh
- Khoảng 5: [180; 185) với 1 học sinh

Bước 2: Tính trung bình cộng
Trung bình cộng (mean) của các giá trị trong mỗi khoảng sẽ là trung điểm của khoảng đó.

- Trung điểm của [160; 165) là $\frac{160 + 165}{2} = 162.5$
- Trung điểm của [165; 170) là $\frac{165 + 170}{2} = 167.5$
- Trung điểm của [170; 175) là $\frac{170 + 175}{2} = 172.5$
- Trung điểm của [175; 180) là $\frac{175 + 180}{2} = 177.5$
- Trung điểm của [180; 185) là $\frac{180 + 185}{2} = 182.5$

Bây giờ, chúng ta tính trung bình cộng của tất cả các giá trị này dựa trên tần số của mỗi khoảng:
$$
\text{Trung bình cộng} = \frac{(162.5 \times 3) + (167.5 \times 5) + (172.5 \times 7) + (177.5 \times 4) + (182.5 \times 1)}{20}
$$
$$
= \frac{487.5 + 837.5 + 1207.5 + 710 + 182.5}{20}
$$
$$
= \frac{3425}{20} = 171.25 \text{ cm}
$$

Bước 3: Tìm trung vị
Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Với 20 học sinh, trung vị sẽ là giá trị trung gian giữa hai giá trị ở vị trí thứ 10 và 11.

Tổng số học sinh trong các khoảng:
- [160; 165): 3 học sinh
- [165; 170): 5 học sinh (tổng 8 học sinh)
- [170; 175): 7 học sinh (tổng 15 học sinh)
- [175; 180): 4 học sinh (tổng 19 học sinh)
- [180; 185): 1 học sinh (tổng 20 học sinh)

Vị trí thứ 10 và 11 nằm trong khoảng [170; 175). Do đó, trung vị là trung điểm của khoảng này:
$$
\text{Trung vị} = 172.5 \text{ cm}
$$

Bước 4: Tìm mode (giá trị xuất hiện nhiều nhất)
Mode là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Trong bảng thống kê, khoảng [170; 175) có nhiều học sinh nhất (7 học sinh).

Do đó, mode là khoảng [170; 175).

Kết luận
- Trung bình cộng: 171.25 cm
- Trung vị: 172.5 cm
- Mode: [170; 175)

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc khảo sát chiều cao của 20 học sinh nam lớp 12A.