aaaaaaaaaaaaaa Câu 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),~B(0;5;4),~C(1;3;3),~D(1;-1;3).$,Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là,$AM=5,~BM=5,~CM=3,~DM=3.$,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),$a^2+(b-4)^2+(c-5)^2=a^2+(b-5)^2+(c-4)^2=25.$,,
,$b)~(a-1)^2+(b-3)^2+(c-3)^2=(a-1)^2+(b+1)^2+(c-3)^2=9.$,,
,$c)~b=c.$,,
,$d)~M(1;1;1).$,,

Question

aaaaaaaaaaaaaa Câu 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),~B(0;5;4),~C(1;3;3),~D(1;-1;3).$,Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là,$AM=5,~BM=5,~CM=3,~DM=3.$,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),$a^2+(b-4)^2+(c-5)^2=a^2+(b-5)^2+(c-4)^2=25.$,,
,$b)~(a-1)^2+(b-3)^2+(c-3)^2=(a-1)^2+(b+1)^2+(c-3)^2=9.$,,
,$c)~b=c.$,,
,$d)~M(1;1;1).$,,

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức về khoảng cách giữa hai điểm trong không gian và phương pháp giải hệ phương trình.

Bước 1: Xác định các phương trình khoảng cách

Từ dữ liệu đã cho, ta có:
- $ AM = 5 $
- $ BM = 5 $
- $ CM = 3 $
- $ DM = 3 $

Ta viết các phương trình khoảng cách tương ứng:
1. $ AM = 5 $:
$$ \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2} = 5 $$
$$ a^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2 = 25 $$

2. $ BM = 5 $:
$$ \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2} = 5 $$
$$ a^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 = 25 $$

3. $ CM = 3 $:
$$ \sqrt{(a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2} = 3 $$
$$ (a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2 = 9 $$

4. $ DM = 3 $:
$$ \sqrt{(a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2} = 3 $$
$$ (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2 = 9 $$

Bước 2: Giải hệ phương trình

Phương trình 1 và 2:
$$ a^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2 = 25 $$
$$ a^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 = 25 $$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
$$ (b - 4)^2 + (c - 5)^2 - [(b - 5)^2 + (c - 4)^2] = 0 $$
$$ (b^2 - 8b + 16 + c^2 - 10c + 25) - (b^2 - 10b + 25 + c^2 - 8c + 16) = 0 $$
$$ -8b + 16 - 10c + 25 + 10b - 25 - 8c + 16 = 0 $$
$$ 2b - 18c + 32 = 0 $$
$$ b - 9c + 16 = 0 \quad \text{(1)} $$

Phương trình 3 và 4:
$$ (a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2 = 9 $$
$$ (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2 = 9 $$

Trừ phương trình thứ tư từ phương trình thứ ba:
$$ (b - 3)^2 - (b + 1)^2 = 0 $$
$$ b^2 - 6b + 9 - (b^2 + 2b + 1) = 0 $$
$$ -6b + 9 - 2b - 1 = 0 $$
$$ -8b + 8 = 0 $$
$$ b = 1 $$

Thay $ b = 1 $ vào phương trình (1):
$$ 1 - 9c + 16 = 0 $$
$$ 17 - 9c = 0 $$
$$ 9c = 17 $$
$$ c = \frac{17}{9} $$

Thay $ b = 1 $ và $ c = \frac{17}{9} $ vào phương trình 1:
$$ a^2 + (1 - 4)^2 + \left(\frac{17}{9} - 5\right)^2 = 25 $$
$$ a^2 + (-3)^2 + \left(\frac{17}{9} - \frac{45}{9}\right)^2 = 25 $$
$$ a^2 + 9 + \left(-\frac{28}{9}\right)^2 = 25 $$
$$ a^2 + 9 + \frac{784}{81} = 25 $$
$$ a^2 + 9 + 9.68 = 25 $$
$$ a^2 + 18.68 = 25 $$
$$ a^2 = 6.32 $$
$$ a = \pm \sqrt{6.32} \approx \pm 2.51 $$

Kết luận:
- $ a = 2.51 $ hoặc $ a = -2.51 $
- $ b = 1 $
- $ c = \frac{17}{9} $

Do đó, các mệnh đề đúng là:
- $ a^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2 = a^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 = 25 $
- $ (a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2 = (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2 = 9 $
- $ b = c $ (sai vì $ b = 1 $ và $ c = \frac{17}{9} $)
- $ M(1;1;1) $ (sai vì $ a \neq 1 $)

Đáp án: 
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai