Câu 1.
Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm cho trước
- Tính :
- Tính :
b) Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là:
Đạo hàm của hàm số này là:
c) Giải phương trình đạo hàm bằng 0
Phương trình đạo hàm bằng 0:
Trên đoạn , nghiệm của phương trình là:
d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn , chúng ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và tại điểm cực trị (nếu có).
- Tại :
- Tại :
- Tại :
So sánh các giá trị:
Ta thấy rằng:
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là:
Kết luận
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được khi .
Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.
Trước hết, ta cần xác định vận tốc ban đầu của ô tô khi bắt đầu tăng tốc. Ban đầu, ô tô có tốc độ là 36 km/h, tức là:
Sau 2 giây, ô tô bắt đầu tăng tốc. Do đó, vận tốc ban đầu khi bắt đầu tăng tốc là:
Ta biết rằng ô tô nhập làn sau 12 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Vì vậy, ta cần tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian này.
Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là:
Theo đề bài, quãng đường này là 180 m:
b) Giá trị của b là 10.
Ta biết rằng sau 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, ô tô vẫn duy trì tốc độ tăng. Do đó, ta cần tính vận tốc của ô tô sau 24 giây:
Theo đề bài, sau 24 giây, tốc độ của ô tô không vượt quá 100 km/h, tức là:
Do đó:
Bây giờ, ta có hai phương trình:
Giải phương trình (1) để tìm :
Thay vào phương trình (2):
Vì , ta chọn . Thay lại vào phương trình (1):
Do đó, giá trị của gần đúng là 10.
c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức
Quãng đường ô tô đi được trong thời gian giây kể từ khi tăng tốc là:
d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.
Tốc độ của ô tô sau 24 giây là:
Vậy, sau 24 giây, tốc độ của ô tô không vượt quá 100 km/h.
Đáp số:
a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.
b) Giá trị của là 10.
c) Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian giây kể từ khi tăng tốc là:
d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.
Câu 3.
a) Xác suất và :
- Số người trả lời "sẽ mua" là 105 người.
- Tổng số người được phỏng vấn là 200 người.
Do đó, xác suất là:
Xác suất là:
b) Xác suất có điều kiện :
- Tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm trong nhóm trả lời "sẽ mua" là 70%.
Do đó, xác suất có điều kiện là:
c) Xác suất :
- Tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm trong nhóm trả lời "không mua" là 30%.
- Số người trả lời "không mua" là 95 người.
Do đó, xác suất có điều kiện là:
Áp dụng công thức xác suất tổng:
d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn:
- Số người thực sự sẽ mua sản phẩm là:
Số người thực sự sẽ mua sản phẩm và đã trả lời "sẽ mua" là:
Tỉ lệ phần trăm người thực sự sẽ mua sản phẩm và đã trả lời "sẽ mua" là:
Đáp số:
a) ;
b)
c)
d) 73%
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
a) Phương trình tham số của đường thẳng MN
Đường thẳng MN đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là .
Phương trình tham số của đường thẳng MN là:
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát
Hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển, tức là bán kính 6 400 km + 6 600 km = 13 000 km.
Phương trình mặt cầu có tâm tại O và bán kính 13 000 km là:
Thay phương trình tham số của đường thẳng MN vào phương trình mặt cầu:
Giải phương trình này để tìm giá trị của :
Giải phương trình bậc hai này:
Ta có hai nghiệm:
Vì là giá trị nhỏ hơn, nên vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là:
Thay vào phương trình tham số:
Vậy vị trí đầu tiên là .
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng
Vị trí cuối cùng là:
Thay vào phương trình tham số:
Vậy vị trí cuối cùng là .
Khoảng cách giữa và :
d) Thời gian di chuyển từ M đến N
Thời gian di chuyển trong phạm vi theo dõi là 3 phút, tức là khoảng cách được di chuyển trong 3 phút.
Tổng khoảng cách từ đến :
Thời gian di chuyển từ đến :
Vậy thời gian di chuyển từ đến là 6 phút.