Câu 38.
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Điều kiện để có nghĩa là:
Bước 2: Giải bất phương trình
Ta biết rằng . Điều này tương đương với:
Từ đây, ta có:
Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bất phương trình
Từ điều kiện xác định và kết quả từ bất phương trình , ta thấy rằng tập nghiệm của bất phương trình là:
Do đó, tập nghiệm S của bất phương trình là:
Đáp án:
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Vì vậy, có thể có lỗi trong việc cung cấp các đáp án hoặc trong quá trình giải bài toán.
Câu 39.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của đồ thị hàm số và các thông tin từ hình vẽ.
1. Xác định dấu của :
- Từ đồ thị, ta thấy rằng khi tiến đến vô cùng (), giá trị của cũng tiến đến một giá trị cố định. Điều này cho thấy đường tiệm cận ngang của hàm số là .
- Do đó, vì đường tiệm cận ngang nằm phía trên trục hoành.
2. Xác định dấu của :
- Đường tiệm cận đứng của hàm số là .
- Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng nằm ở phía âm của trục hoành, tức là . Do đó, .
3. Xác định dấu của :
- Ta biết rằng điểm giao của đồ thị với trục tung là , với .
- Từ đồ thị, ta thấy điểm giao của đồ thị với trục tung nằm ở phía âm của trục tung, tức là . Do đó, .
- Vì , nên để , ta phải có .
Từ các phân tích trên, ta có:
-
-
-
Do đó, khẳng định đúng là:
Đáp án:
Câu 40.
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình , ta cần viết lại phương trình dưới dạng chuẩn hơn.
Phương trình đã cho là:
Ta thấy rằng phương trình này có dạng:
Từ đây, ta nhận ra rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng này sẽ có các thành phần tương ứng với mẫu số trong phương trình trên. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
Nhưng để dễ dàng so sánh với các đáp án đã cho, ta có thể nhân cả ba thành phần của vectơ này với 3 để loại bỏ phân số:
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án B là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 41.
Để tìm mốt của mẫu số liệu, ta cần xác định khoảng có tần số lớn nhất và sử dụng công thức mốt:
Trong đó:
- là cận dưới của khoảng có tần số lớn nhất.
- là tần số của khoảng có tần số lớn nhất.
- là tần số của khoảng liền trước khoảng có tần số lớn nhất.
- là tần số của khoảng liền sau khoảng có tần số lớn nhất.
- là khoảng cách giữa hai cận dưới liên tiếp.
Bước 1: Xác định khoảng có tần số lớn nhất.
- Khoảng [6;7) có 8 học sinh.
- Khoảng [7;8) có 7 học sinh.
- Khoảng [8;9) có 10 học sinh.
- Khoảng [9;10] có 5 học sinh.
Khoảng có tần số lớn nhất là [8;9) với 10 học sinh.
Bước 2: Áp dụng công thức mốt.
-
-
- (tần số của khoảng [7;8))
- (tần số của khoảng [9;10])
-
Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có:
Vậy mốt của mẫu số liệu là 8,38.
Đáp án đúng là: A. 8,38.
Câu 42.
Để tìm điểm cực đại của hàm số , ta cần xét dấu của đạo hàm .
Ta có:
Bước 1: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Suy ra:
Bước 2: Xét dấu của ở các khoảng giữa các điểm trên.
- Khi : , , . Suy ra .
- Khi : , , . Suy ra .
- Khi : , , . Suy ra .
- Khi : , , . Suy ra .
Bước 3: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu.
- Tại : chuyển từ âm sang dương, suy ra là điểm cực tiểu.
- Tại : chuyển từ âm sang dương, suy ra là điểm cực đại.
- Tại : không đổi dấu, suy ra không phải là điểm cực đại hay cực tiểu.
Vậy điểm cực đại của hàm số là .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 43.
Để tìm vectơ , ta cần xác định vectơ và trước.
Ta có:
M là trung điểm của đoạn BC, nên:
Thay các giá trị đã tìm được vào:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 44.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn . Ta cần tìm tọa độ của M.
1. Xác định tọa độ của các vectơ đơn vị:
-
-
-
2. Biểu diễn theo các vectơ đơn vị:
Thay vào các vectơ đơn vị:
3. Xác định tọa độ của điểm M:
- Gọi tọa độ của M là .
- Vì , ta có:
- Từ đó suy ra:
4. Kết luận tọa độ của M:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 45.
Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , ta cần xác định các hệ số của các biến , , và trong phương trình mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Từ phương trình này, ta thấy rằng:
- Hệ số của là 2.
- Hệ số của là -1.
- Hệ số của là 0.
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ có dạng .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 46.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân đã cho thành hai phần riêng biệt.
Bước 1: Xác định tích phân ban đầu:
Bước 2: Áp dụng tính chất của tích phân để tách phần tích phân:
Bước 3: Tính tích phân của :
Bước 4: Thay kết quả vào phương trình:
Bước 5: Giải phương trình để tìm :
Vậy, bằng 11.
Đáp án đúng là: C. 11.
Câu 47.
Gọi độ dài cạnh đáy của khối chóp S.ABC là .
Diện tích đáy của khối chóp S.ABC là:
Thể tích của khối chóp S.ABC là:
Theo đề bài, thể tích của khối chóp S.ABC bằng . Do đó ta có:
Chia cả hai vế cho , ta được:
Nhân cả hai vế với 12, ta được:
Lấy căn bậc hai của cả hai vế, ta được:
Vậy độ dài cạnh đáy của khối chóp S.ABC là .