Câu 95.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và cạnh SP vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).
Do đó, ta có:
-
- là đường chéo của hình thoi ABCD, do đó
Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xem có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (SBD) hay không.
Kiểm tra mặt phẳng (SAD):
-
-
-
Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SAD) vuông góc với cả hai đường thẳng và trong mặt phẳng (SBD) hay không.
- vì là đỉnh của hình thoi và là đường chéo của hình thoi.
- Tuy nhiên, không vuông góc với vì nằm trong mặt phẳng (SAD) và nằm trong mặt phẳng (SBD).
Do đó, mặt phẳng (SAD) không vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Kiểm tra mặt phẳng (SAC):
-
-
-
Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SAC) vuông góc với cả hai đường thẳng và trong mặt phẳng (SBD) hay không.
- vì là đỉnh của hình thoi và là đường chéo của hình thoi.
- vì là đỉnh của hình thoi và là đường chéo của hình thoi.
Do đó, , suy ra mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Kiểm tra mặt phẳng (SCD):
-
-
-
Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SCD) vuông góc với cả hai đường thẳng và trong mặt phẳng (SBD) hay không.
- vì là đỉnh của hình thoi và là đường chéo của hình thoi.
- Tuy nhiên, không vuông góc với vì nằm trong mặt phẳng (SCD) và nằm trong mặt phẳng (SBD).
Do đó, mặt phẳng (SCD) không vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Kiểm tra mặt phẳng (SBC):
-
-
-
Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBC) vuông góc với cả hai đường thẳng và trong mặt phẳng (SBD) hay không.
- vì là đỉnh của hình thoi và là đường chéo của hình thoi.
- Tuy nhiên, không vuông góc với vì nằm trong mặt phẳng (SBC) và nằm trong mặt phẳng (SBD).
Do đó, mặt phẳng (SBC) không vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Kết luận:
Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng duy nhất vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Đáp án đúng là: B. (SAC).
Câu 96.
Ta có:
(vì )
Vậy
Đáp án đúng là: .
Câu 97.
Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta có:
- Khi , , hàm số đồng biến.
- Khi , , hàm số nghịch biến.
- Khi , , hàm số đồng biến.
Do đó, các mệnh đề đúng là:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Trong các lựa chọn trên, chỉ có D là đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng .
Đáp án: D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 98.
Để tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất (Q1), chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số học sinh:
Tổng số học sinh = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42 học sinh.
2. Tìm vị trí của Q1:
Vị trí của Q1 = .
Do đó, Q1 nằm ở vị trí thứ 11 (vì chúng ta làm tròn lên).
3. Xác định nhóm chứa Q1:
- Nhóm [0; 20) có 5 học sinh.
- Nhóm [20; 40) có 9 học sinh, tổng từ nhóm đầu đến nhóm này là 5 + 9 = 14 học sinh.
Vì vị trí thứ 11 nằm trong khoảng từ 5 đến 14, nên Q1 thuộc nhóm [20; 40).
Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Câu 99.
Mặt phẳng có phương trình .
Ta nhận thấy rằng phương trình này đã được viết dưới dạng tổng quát , trong đó , , , và .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ có tọa độ . Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 100.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Phương trình này không chứa các yếu tố yêu cầu ĐKXĐ đặc biệt, vì vậy ta có thể tiếp tục giải phương trình.
Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau
- Ta nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số : .
- Do đó, phương trình trở thành: .
Bước 3: So sánh các mũ của cùng cơ số
- Vì hai vế đều có cùng cơ số là , ta có thể so sánh các mũ của chúng:
Bước 4: Giải phương trình bậc nhất
- Giải phương trình :
Vậy phương trình có nghiệm là .
Đáp án đúng là: A. 4.
Câu 101.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số:
- Nguyên hàm của :
- Nguyên hàm của :
2. Kết hợp các nguyên hàm lại:
Trong đó, là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả và .
Do đó, nguyên hàm của hàm số là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 102.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng phép trừ hai vectơ và có thể được thực hiện bằng cách cộng vectơ với vectơ đối của , tức là .
Ta có:
Trong hình hộp ABCD.EFGH, ta thấy rằng là vectơ ngược chiều với , do đó .
Do đó:
Tiếp theo, ta nhận thấy rằng trong hình hộp, và là hai vectơ song song và cùng chiều. Do đó:
Vậy kết quả của phép toán là: