Giải chi tiết Câu 1. Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ, nó,được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $y=f(x)=-0,1x^3+0,9x^2-1,5x+5,6.$ Đơn vị,đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100m. $giac0xy=0\Rightarrow x(x,y)$,,a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 600m. s,b) Trên đường đi dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng,cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất: Đ,S c) Khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ,đối diện là 490m.,d) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số $y=-1,5x+18.$ Người ta dự định,xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này,là ngắn nhất. Biết toạ độ của điểm để xây bến thuyền này là $M(a;b).$ Giá tri $a+5b$ bằng 43.

Question

Giải chi tiết Câu 1. Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ, nó,được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $y=f(x)=-0,1x^3+0,9x^2-1,5x+5,6.$ Đơn vị,đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100m. $giac0xy=0\Rightarrow x(x,y)$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/0d3801155fb64b0fb6f6b9e92c8ef2ec.jpg />,a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 600m. s,b) Trên đường đi dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng,cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất: Đ,S c) Khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ,đối diện là 490m.,d) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số $y=-1,5x+18.$ Người ta dự định,xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này,là ngắn nhất. Biết toạ độ của điểm để xây bến thuyền này là $M(a;b).$ Giá tri $a+5b$ bằng 43.

Accepted Answer

Câu 1.
a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 600m.

Điều kiện xác định: $ y = f(x) = -0,1x^3 + 0,9x^2 - 1,5x + 5,6 $.

Để tìm chiều dài của đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, ta cần tính khoảng cách từ điểm giao của đồ thị với trục Ox đến điểm cuối của đường dạo ven hồ.

Tìm giao điểm của đồ thị với trục Ox:
$$ f(x) = 0 $$
$$ -0,1x^3 + 0,9x^2 - 1,5x + 5,6 = 0 $$

Sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc máy tính để tìm nghiệm gần đúng của phương trình này. Ta có nghiệm $ x \approx 4 $.

Do đó, đường dạo ven hồ chạy từ $ x = 0 $ đến $ x = 6 $ (đơn vị là 100m), tổng chiều dài là:
$$ 6 \times 100 = 600 \text{ m} $$

b) Trên đường đi dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất.

Điểm cách gốc O một đoạn 500m có tọa độ $ x = 5 $.

Tính giá trị của $ f(5) $:
$$ f(5) = -0,1(5)^3 + 0,9(5)^2 - 1,5(5) + 5,6 $$
$$ f(5) = -0,1(125) + 0,9(25) - 1,5(5) + 5,6 $$
$$ f(5) = -12,5 + 22,5 - 7,5 + 5,6 $$
$$ f(5) = 8,1 $$

Do đó, khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất tại điểm cách gốc O một đoạn 500m.

c) Khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện là 490m.

Để tìm khoảng cách nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ f(x) $ trong khoảng $ 0 \leq x \leq 6 $.

Tính đạo hàm của $ f(x) $:
$$ f'(x) = -0,3x^2 + 1,8x - 1,5 $$

Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
$$ -0,3x^2 + 1,8x - 1,5 = 0 $$
$$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$
$$ (x - 1)(x - 5) = 0 $$

Các nghiệm là $ x = 1 $ và $ x = 5 $.

Tính giá trị của $ f(x) $ tại các điểm cực trị và hai đầu khoảng:
$$ f(0) = 5,6 $$
$$ f(1) = -0,1(1)^3 + 0,9(1)^2 - 1,5(1) + 5,6 $$
$$ f(1) = -0,1 + 0,9 - 1,5 + 5,6 $$
$$ f(1) = 4,9 $$

$$ f(5) = 8,1 $$ (đã tính ở phần b)

$$ f(6) = -0,1(6)^3 + 0,9(6)^2 - 1,5(6) + 5,6 $$
$$ f(6) = -0,1(216) + 0,9(36) - 1,5(6) + 5,6 $$
$$ f(6) = -21,6 + 32,4 - 9 + 5,6 $$
$$ f(6) = 7,4 $$

Giá trị nhỏ nhất của $ f(x) $ trong khoảng $ 0 \leq x \leq 6 $ là 4,9 tại $ x = 1 $.

Do đó, khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện là 490m.

d) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số $ y = -1,5x + 18 $. Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Biết tọa độ của điểm để xây bến thuyền này là $ M(a; b) $. Giá trị $ a + 5b $ bằng 43.

Để tìm điểm $ M(a; b) $ trên đồ thị $ y = f(x) $ sao cho khoảng cách đến đường $ y = -1,5x + 18 $ là ngắn nhất, ta cần tìm điểm trên đồ thị $ y = f(x) $ sao cho tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường $ y = -1,5x + 18 $.

Tiếp tuyến song song với đường $ y = -1,5x + 18 $ có hệ số góc là -1,5. Do đó, ta cần tìm điểm trên đồ thị $ y = f(x) $ sao cho đạo hàm $ f'(x) = -1,5 $.

Tính đạo hàm của $ f(x) $:
$$ f'(x) = -0,3x^2 + 1,8x - 1,5 $$

Gắn $ f'(x) = -1,5 $:
$$ -0,3x^2 + 1,8x - 1,5 = -1,5 $$
$$ -0,3x^2 + 1,8x = 0 $$
$$ x(-0,3x + 1,8) = 0 $$

Các nghiệm là $ x = 0 $ và $ x = 6 $.

Tính giá trị của $ f(x) $ tại các điểm này:
$$ f(0) = 5,6 $$
$$ f(6) = 7,4 $$

Do đó, điểm $ M(a; b) $ có thể là $ (0; 5,6) $ hoặc $ (6; 7,4) $.

Kiểm tra điều kiện $ a + 5b = 43 $:
$$ 0 + 5(5,6) = 28 \neq 43 $$
$$ 6 + 5(7,4) = 6 + 37 = 43 $$

Do đó, điểm $ M(a; b) $ là $ (6; 7,4) $.

Vậy giá trị $ a + 5b $ bằng 43.