memdmsmsmzmzmxm PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.,Câu 1. Một chiếc trực thẳng H cất cánh từ một sân bay. Xét,hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là chân tháp điều khiển,không lưu; trục Ox là hướng Đông, trục Oy là hướng Bắc và,,trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.,Trực thăng cất cánh từ điểm G trên mặt đất. Vectơ u chỉ vị trí,của trực thăng tại thời điểm t phút sau khi cất cánh $(t\geq0)$ có,tọa độ là $\overrightarrow u=(1+t;\frac12+2t;2t).$ Một hòn đảo ở vị trí,D(150;115;0). Gọi M là vị trí của máy bay H tại thời điểm 1 phút sau khi cất cánh.,a) Toạ độ điểm M tại thời điểm t phút sau khi máy bay H cất cánh là $M(1+t;\frac12+2t;2t).$,b) Toạ độ điểm G là $(1;\frac12;0).$,c) Toạ độ của véctơ $\overrightarrow{MD}$ là $(149-t;\frac{129}2-2t;-2t).$,d) Máy bay H bay đến vị trí $M(x_0;y_0;z_0)$ thì khoảng cách từ máy bay đến D là nhỏ nhất. Khi đó:,$20(x_0+y_0+z_0)=4320.$

Question

memdmsmsmzmzmxm PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.,Câu 1. Một chiếc trực thẳng H cất cánh từ một sân bay. Xét,hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là chân tháp điều khiển,không lưu; trục Ox là hướng Đông, trục Oy là hướng Bắc và,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/af96256100a145d78717094327f83b9b.jpg />,trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.,Trực thăng cất cánh từ điểm G trên mặt đất. Vectơ u chỉ vị trí,của trực thăng tại thời điểm t phút sau khi cất cánh $(t\geq0)$ có,tọa độ là $\overrightarrow u=(1+t;\frac12+2t;2t).$ Một hòn đảo ở vị trí,D(150;115;0). Gọi M là vị trí của máy bay H tại thời điểm 1 phút sau khi cất cánh.,a) Toạ độ điểm M tại thời điểm t phút sau khi máy bay H cất cánh là $M(1+t;\frac12+2t;2t).$,b) Toạ độ điểm G là $(1;\frac12;0).$,c) Toạ độ của véctơ $\overrightarrow{MD}$ là $(149-t;\frac{129}2-2t;-2t).$,d) Máy bay H bay đến vị trí $M(x_0;y_0;z_0)$ thì khoảng cách từ máy bay đến D là nhỏ nhất. Khi đó:,$20(x_0+y_0+z_0)=4320.$

Accepted Answer

Câu 1.
a) Tọa độ điểm M tại thời điểm t phút sau khi máy bay H cất cánh là $M(1+t;\frac12+2t;2t).$

b) Tọa độ điểm G là $(1;\frac12;0).$

c) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MD}$ là $(149-t;\frac{129}2-2t;-2t).$

d) Máy bay H bay đến vị trí $M(x_0;y_0;z_0)$ thì khoảng cách từ máy bay đến D là nhỏ nhất. Khi đó: $20(x_0+y_0+z_0)=4320.$

Lập luận từng bước:

1. Tìm tọa độ điểm M:
   - Theo đề bài, vectơ $\overrightarrow{u}$ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm t phút sau khi cất cánh có tọa độ là $\overrightarrow{u} = (1 + t; \frac{1}{2} + 2t; 2t).$
   - Do đó, tọa độ điểm M tại thời điểm t phút sau khi máy bay H cất cánh là $M(1 + t; \frac{1}{2} + 2t; 2t).$

2. Tìm tọa độ điểm G:
   - Điểm G là điểm cất cánh của trực thăng, do đó tọa độ của G là $(1; \frac{1}{2}; 0).$

3. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MD}$:
   - Tọa độ của điểm D là $(150; 115; 0).$
   - Tọa độ của điểm M là $(1 + t; \frac{1}{2} + 2t; 2t).$
   - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MD}$ là:
     $$
     \overrightarrow{MD} = (150 - (1 + t); 115 - (\frac{1}{2} + 2t); 0 - 2t) = (149 - t; \frac{129}{2} - 2t; -2t)
     $$

4. Tìm tọa độ của điểm M khi khoảng cách từ máy bay đến D là nhỏ nhất:
   - Khoảng cách từ điểm M đến điểm D là:
     $$
     d(M, D) = \sqrt{(149 - t)^2 + \left(\frac{129}{2} - 2t\right)^2 + (-2t)^2}
     $$
   - Để khoảng cách này nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của t sao cho đạo hàm của khoảng cách này bằng 0.
   - Ta có:
     $$
     f(t) = (149 - t)^2 + \left(\frac{129}{2} - 2t\right)^2 + (-2t)^2
     $$
   - Đạo hàm của f(t):
     $$
     f'(t) = 2(149 - t)(-1) + 2\left(\frac{129}{2} - 2t\right)(-2) + 2(-2t)(-2)
     $$
     $$
     f'(t) = -2(149 - t) - 4\left(\frac{129}{2} - 2t\right) + 8t
     $$
     $$
     f'(t) = -298 + 2t - 258 + 8t + 8t
     $$
     $$
     f'(t) = 18t - 556
     $$
   - Đặt f'(t) = 0:
     $$
     18t - 556 = 0
     $$
     $$
     t = \frac{556}{18} = \frac{278}{9}
     $$
   - Thay t = $\frac{278}{9}$ vào tọa độ của điểm M:
     $$
     x_0 = 1 + \frac{278}{9} = \frac{287}{9}
     $$
     $$
     y_0 = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{278}{9} = \frac{1}{2} + \frac{556}{9} = \frac{9 + 1112}{18} = \frac{1121}{18}
     $$
     $$
     z_0 = 2 \cdot \frac{278}{9} = \frac{556}{9}
     $$
   - Tính $20(x_0 + y_0 + z_0)$:
     $$
     20 \left( \frac{287}{9} + \frac{1121}{18} + \frac{556}{9} \right) = 20 \left( \frac{574 + 1121 + 1112}{18} \right) = 20 \left( \frac{2807}{18} \right) = 20 \times 156 = 4320
     $$

Vậy $20(x_0 + y_0 + z_0) = 4320$.