giải giúp mình với PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương,án.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{x-4}{x+m}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng,biến trên từng khoảng xác định.,A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.,Câu 2: Cho hàm số $y=mx^3+mx^2-(m+1)x+1.$ Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến,trên $\mathbb{R}.$,$A.~\frac{-3}4

Question

giải giúp mình với PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương,án.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{x-4}{x+m}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng,biến trên từng khoảng xác định.,A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.,Câu 2: Cho hàm số $y=mx^3+mx^2-(m+1)x+1.$ Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến,trên $\mathbb{R}.$,$A.~\frac{-3}4<m<0.$ $B.~\frac{-3}4\leq m\leq0.$ $C.~m\leq0.$ $D.~m\leq\frac{-3}4.$,Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^3+x^2+mx+1$ đồng biến trên,$(-\infty;+\infty).$,$A.~m\leq\frac13.$ $B.~m\geq\frac13.$ $C.~m\geq\frac43.$ $D.~m\leq\frac43.$,Câu 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$,là,A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.,Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{mx+2}{2x+m},$ m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để,hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.,A. 1. B. 3. C. 2. D. 5.,âu 6: Số giá trị nguyên của m để hàm số $y=(m-7)x^3+(m-7)x^2-2mx-1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$,bằng

Accepted Answer

Câu 1: Để hàm số $f(x) = \frac{x - 4}{x + m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra điều kiện đạo hàm dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \left( \frac{x - 4}{x + m} \right)' = \frac{(x + m) \cdot 1 - (x - 4) \cdot 1}{(x + m)^2} = \frac{x + m - x + 4}{(x + m)^2} = \frac{m + 4}{(x + m)^2} $$ Bước 2: Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, đạo hàm phải dương: $$ f'(x) > 0 $$ $$ \frac{m + 4}{(x + m)^2} > 0 $$ Do $(x + m)^2$ luôn dương (trừ khi $x = -m$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định), nên ta chỉ cần: $$ m + 4 > 0 $$ $$ m > -4 $$ Bước 3: Tìm các giá trị nguyên âm của $m$ thỏa mãn điều kiện trên: Các giá trị nguyên âm của $m$ là: $-3, -2, -1, 0$ Tuy nhiên, $m = 0$ không phải là giá trị âm, do đó các giá trị nguyên âm của $m$ là: $-3, -2, -1$ Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 2: Để hàm số $y = mx^3 + mx^2 - (m+1)x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(mx^3 + mx^2 - (m+1)x + 1) = 3mx^2 + 2mx - (m+1). $$ Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần: $$ y' \leq 0 \quad \text{đối với mọi } x \in \mathbb{R}. $$ Bước 3: Xét dấu của đạo hàm $y' = 3mx^2 + 2mx - (m+1)$: - Đạo hàm là một đa thức bậc hai, để nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$, hệ số của $x^2$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 và biệt thức của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Bước 4: Kiểm tra hệ số của $x^2$: $$ 3m \leq 0 \implies m \leq 0. $$ Bước 5: Kiểm tra biệt thức của đạo hàm: $$ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 3m \cdot (-(m+1)) = 4m^2 + 12m(m+1) = 4m^2 + 12m^2 + 12m = 16m^2 + 12m. $$ Để đạo hàm luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần: $$ 16m^2 + 12m \leq 0. $$ $$ 4m(4m + 3) \leq 0. $$ Bước 6: Giải bất phương trình: $$ 4m(4m + 3) \leq 0. $$ Ta có các nghiệm của phương trình $4m(4m + 3) = 0$ là $m = 0$ và $m = -\frac{3}{4}$. Kiểm tra các khoảng: - Khi $m < -\frac{3}{4}$, $4m < 0$ và $4m + 3 < 0$, nên $4m(4m + 3) > 0$ (loại). - Khi $-\frac{3}{4} \leq m \leq 0$, $4m \leq 0$ và $4m + 3 \geq 0$, nên $4m(4m + 3) \leq 0$ (thỏa mãn). Vậy, điều kiện để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là: $$ -\frac{3}{4} \leq m \leq 0. $$ Đáp án đúng là: $B.~\frac{-3}4\leq m\leq0.$ Câu 3: Để hàm số $y = x^3 + x^2 + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên toàn bộ khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 + mx + 1) = 3x^2 + 2x + m $$ Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$, đạo hàm $y'$ phải luôn dương: $$ 3x^2 + 2x + m > 0 \quad \text{đối với mọi} \quad x \in (-\infty; +\infty) $$ Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai $3x^2 + 2x + m$. Để tam thức này luôn dương, nó phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép và hệ số của $x^2$ phải dương. Điều này tương đương với: $$ \Delta < 0 $$ Trong đó $\Delta$ là biệt thức của tam thức bậc hai: $$ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 4 - 12m $$ Bước 4: Giải bất phương trình $\Delta < 0$: $$ 4 - 12m < 0 $$ $$ 4 < 12m $$ $$ m > \frac{1}{3} $$ Vậy, để hàm số $y = x^3 + x^2 + mx + 1$ đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$, tham số $m$ phải thỏa mãn: $$ m \geq \frac{1}{3} $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ B.~m \geq \frac{1}{3} $$ Câu 4: Để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn âm trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = 3(m^2 - 1)x^2 + 2(m - 1)x - 1 $$ Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$. Do đó, ta cần: $$ 3(m^2 - 1)x^2 + 2(m - 1)x - 1 \leq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$ Bước 3: Xét hệ số của $x^2$ trong đạo hàm: $$ 3(m^2 - 1) $$ Để đảm bảo rằng $y'$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, hệ số của $x^2$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0: $$ 3(m^2 - 1) \leq 0 $$ $$ m^2 - 1 \leq 0 $$ $$ (m - 1)(m + 1) \leq 0 $$ Giải bất phương trình này, ta có: $$ -1 \leq m \leq 1 $$ Bước 4: Kiểm tra các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $[-1, 1]$: - Nếu $m = -1$, ta có: $$ y' = 3((-1)^2 - 1)x^2 + 2(-1 - 1)x - 1 = 0x^2 - 4x - 1 = -4x - 1 $$ Đạo hàm $y' = -4x - 1$ không luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$, vì nó có thể dương khi $x < -\frac{1}{4}$. - Nếu $m = 0$, ta có: $$ y' = 3(0^2 - 1)x^2 + 2(0 - 1)x - 1 = -3x^2 - 2x - 1 $$ Ta kiểm tra tính chất của tam thức bậc hai $-3x^2 - 2x - 1$. Hệ số $a = -3 < 0$, nên parabol mở xuống. Ta tính $\Delta$: $$ \Delta = (-2)^2 - 4(-3)(-1) = 4 - 12 = -8 $$ Vì $\Delta < 0$, tam thức $-3x^2 - 2x - 1$ luôn nhỏ hơn 0 trên $\mathbb{R}$. - Nếu $m = 1$, ta có: $$ y' = 3(1^2 - 1)x^2 + 2(1 - 1)x - 1 = 0x^2 + 0x - 1 = -1 $$ Đạo hàm $y' = -1$ luôn nhỏ hơn 0 trên $\mathbb{R}$. Từ các trường hợp trên, ta thấy chỉ có $m = 0$ và $m = 1$ thỏa mãn điều kiện hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy số giá trị nguyên của tham số $m$ là 2. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 5: Để hàm số $y=\frac{mx+2}{2x+m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và đảm bảo đạo hàm âm trên từng khoảng xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{mx + 2}{2x + m} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(mx + 2)'(2x + m) - (mx + 2)(2x + m)'}{(2x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{m(2x + m) - (mx + 2) \cdot 2}{(2x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{2mx + m^2 - 2mx - 4}{(2x + m)^2} $$ $$ y' = \frac{m^2 - 4}{(2x + m)^2} $$ Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, ta cần: $$ y' < 0 $$ $$ \frac{m^2 - 4}{(2x + m)^2} < 0 $$ Do $(2x + m)^2$ luôn dương (trừ khi $2x + m = 0$, nhưng điều này không ảnh hưởng đến dấu của biểu thức), nên ta chỉ cần: $$ m^2 - 4 < 0 $$ $$ m^2 < 4 $$ $$ -2 < m < 2 $$ Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $(-2, 2)$: $$ m = -1, 0, 1 $$ Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đáp án: B. 3 --- Để hàm số $y = (m-7)x^3 + (m-7)x^2 - 2mx - 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và đảm bảo đạo hàm luôn âm trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = [(m-7)x^3 + (m-7)x^2 - 2mx - 1]' $$ $$ y' = 3(m-7)x^2 + 2(m-7)x - 2m $$ Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần: $$ y' < 0 $$ $$ 3(m-7)x^2 + 2(m-7)x - 2m < 0 $$ Đây là một bất phương trình bậc hai theo $x$. Để bất phương trình này luôn âm, hệ số của $x^2$ phải âm và biệt thức phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Hệ số của $x^2$ là $3(m-7)$. Để nó âm: $$ 3(m-7) < 0 $$ $$ m-7 < 0 $$ $$ m < 7 $$ Biệt thức của bất phương trình bậc hai: $$ \Delta = [2(m-7)]^2 - 4 \cdot 3(m-7) \cdot (-2m) $$ $$ \Delta = 4(m-7)^2 + 24m(m-7) $$ $$ \Delta = 4(m-7)(m-7 + 6m) $$ $$ \Delta = 4(m-7)(7m-7) $$ $$ \Delta = 28(m-7)^2 $$ Để bất phương trình luôn âm, biệt thức phải nhỏ hơn hoặc bằng 0: $$ 28(m-7)^2 \leq 0 $$ $$ (m-7)^2 \leq 0 $$ Vì $(m-7)^2$ luôn không âm và bằng 0 khi $m = 7$, nên điều kiện duy nhất là: $$ m = 7 $$ Tuy nhiên, ta đã có điều kiện $m < 7$, do đó không có giá trị nào thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng lúc. Vậy không có giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án: 0