Câu 1:
Gọi nhà máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm thì nhà máy thứ hai sản xuất được sản phẩm.
Tổng số sản phẩm của cả hai nhà máy là:
Số sản phẩm tốt của nhà máy thứ nhất là:
Số sản phẩm tốt của nhà máy thứ hai là:
Tổng số sản phẩm tốt của cả hai nhà máy là:
Xác suất để sản phẩm lấy ra là tốt là:
Đáp số: 0,775
Câu 2:
Để tính xác suất để trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi trắng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy 2 viên bi từ hộp thứ nhất
Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi đen. Các trường hợp có thể xảy ra khi lấy 2 viên bi từ hộp thứ nhất là:
- Cả 2 viên đều là bi trắng.
- Một viên là bi trắng và một viên là bi đen.
- Cả 2 viên đều là bi đen.
Ta tính xác suất của mỗi trường hợp này:
1. Cả 2 viên đều là bi trắng:
2. Một viên là bi trắng và một viên là bi đen:
3. Cả 2 viên đều là bi đen:
Bước 2: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy 3 viên bi từ hộp thứ hai
Sau khi đã chuyển 2 viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai, hộp thứ hai có thể có các trạng thái sau:
- Hộp thứ hai có 11 bi trắng và 1 bi đen (nếu cả 2 viên bi lấy từ hộp thứ nhất đều là bi trắng).
- Hộp thứ hai có 10 bi trắng và 2 bi đen (nếu một viên bi lấy từ hộp thứ nhất là bi trắng và một viên là bi đen).
- Hộp thứ hai có 9 bi trắng và 3 bi đen (nếu cả 2 viên bi lấy từ hộp thứ nhất đều là bi đen).
Ta tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi trắng trong mỗi trường hợp:
1. Trường hợp hộp thứ hai có 11 bi trắng và 1 bi đen:
2. Trường hợp hộp thứ hai có 10 bi trắng và 2 bi đen:
3. Trường hợp hộp thứ hai có 9 bi trắng và 3 bi đen:
Bước 3: Tính xác suất tổng cộng
Áp dụng công thức xác suất tổng hợp, ta có:
Tính toán cụ thể:
Kết quả cuối cùng:
Do đó, xác suất để trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi trắng là:
Câu 3:
Xác suất lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ nhất là
Sau khi lấy ra một viên bi xanh từ hộp thứ nhất và chuyển sang hộp thứ hai, hộp thứ hai sẽ có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, tổng cộng 9 viên bi.
Xác suất lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là
Xác suất của biến cố A là tích của xác suất lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ nhất và xác suất lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai:
Phân số tối giản của xác suất này là , do đó và .
Từ đó, ta có:
Đáp số: 53
Câu 4:
Để tìm , ta cần biết và . Ta sẽ sử dụng công thức xác suất điều kiện và tính chất của xác suất để tìm .
Trước tiên, ta biết rằng:
Ta cũng biết rằng:
Từ đây, ta có:
Biết rằng:
Do đó:
Bây giờ, ta thay vào công thức ban đầu:
Từ đây, ta tìm được:
Cuối cùng, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tìm :
Vậy, .
Đáp số: .
Câu 5:
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và bị viêm họng là 0,21.
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là 0,3.
Tỉ lệ viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là .
Xác suất để người đó không nghiện thuốc lá là 0,7.
Xác suất để người đó không nghiện thuốc lá và bị viêm họng là .
Vậy .
Câu 6:
Gọi là sự kiện "A bắn trúng", là sự kiện "B bắn trúng".
Xác suất của là .
Xác suất của là .
Sự kiện "có một viên đạn trúng đích" là . Ta cần tính xác suất của trong điều kiện đã xảy ra, tức là .
Theo công thức xác suất điều kiện:
Vì , ta có:
Do đó:
Ta cần tính :
Vì A và B bắn độc lập, ta có:
Do đó:
Vậy:
Đáp số:
Câu 7:
Gọi là sự kiện "Minh làm đúng bài thứ nhất", là sự kiện "Minh làm đúng bài thứ hai".
Theo đề bài, ta có:
-
- (Xác suất Minh làm đúng bài thứ hai khi làm đúng bài thứ nhất)
- (Xác suất Minh làm đúng bài thứ hai khi làm sai bài thứ nhất)
Ta cần tính xác suất , tức là xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh làm đúng bài thứ hai.
Áp dụng công thức Bayes:
Trước tiên, ta cần tính :
Bây giờ, ta tính :
Vậy xác suất để Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh làm đúng bài thứ hai là khoảng 0,9032.
Câu 8:
Gọi số học sinh nam là .
Tổng số học sinh trong lớp là .
Số cách chọn 2 học sinh từ tổng số học sinh là:
Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 16 học sinh nữ là:
Theo đề bài, xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là . Do đó ta có:
Thay các giá trị vào ta có:
Rút gọn phương trình:
Nhân cả hai vế với :
Nhân cả hai vế với 62:
Tính toán:
Chia cả hai vế cho 15:
Phát triển biểu thức:
Di chuyển tất cả về một vế:
Giải phương trình bậc hai:
Ta có hai nghiệm:
(loại vì số học sinh không thể âm)
Vậy số học sinh nam là 16.
Tổng số học sinh trong lớp là:
Đáp số: 32 học sinh.