Câu 1.
Ta có
Để tìm , ta lấy đạo hàm của theo . Ta có:
Do đó, .
Vậy khẳng định đúng là:
C.
Câu 2.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau:
Ta nhận thấy rằng có thể viết lại dưới dạng cơ số 3:
2. So sánh hai vế của phương trình:
Bây giờ phương trình trở thành:
Vì cơ số giống nhau, ta có thể so sánh các mũ:
3. Giải phương trình để tìm :
Chia cả hai vế cho 4:
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 3.
Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số từ bảng biến thiên, ta cần tìm các khoảng trong đó đạo hàm của hàm số là âm, tức là hàm số giảm.
Trong bảng biến thiên, ta thấy:
- Từ đến , hàm số tăng.
- Từ đến , hàm số giảm.
- Từ đến , hàm số tăng.
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 4.
Để tính diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ, chúng ta cần xác định diện tích giữa hai đường cong và từ đến .
Bước 1: Xác định các đường cong và khoảng tích phân.
- Đường cong trên là .
- Đường thẳng dưới là .
- Khoảng tích phân từ đến .
Bước 2: Viết biểu thức cho diện tích S.
Diện tích S giữa hai đường cong từ đến được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số trên và hàm số dưới:
Bước 3: So sánh với các đáp án đã cho.
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Trong đó, đáp án B đúng vì nó phản ánh chính xác hiệu giữa hàm số trên và hàm số dưới.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5.
Để xác định khẳng định nào đúng dựa vào độ lệch chuẩn, chúng ta cần tính độ lệch chuẩn cho cả hai bảng dữ liệu của Hà Nội và Huế. Độ lệch chuẩn là một thước đo độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu. Một độ lệch chuẩn thấp hơn cho thấy các giá trị trong tập dữ liệu gần hơn với giá trị trung bình, tức là đồng đều hơn.
Bước 1: Tính trung bình cộng (mean) cho mỗi bảng
Bảng 1 (Hà Nội)
Bảng 2 (Huế)
Bước 2: Tính phương sai (variance) cho mỗi bảng
Phương sai được tính bằng cách lấy tổng bình phương các khoảng cách từ giá trị trung bình, chia cho số lượng giá trị.
Bảng 1 (Hà Nội)
Bảng 2 (Huế)
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (standard deviation)
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Bảng 1 (Hà Nội)
Bảng 2 (Huế)
Kết luận:
- Hà Nội có độ lệch chuẩn là 4,555.
- Huế có độ lệch chuẩn là 3,969.
Vì độ lệch chuẩn của Huế thấp hơn Hà Nội, nên nhiệt độ không khí trung bình tháng của Huế đồng đều hơn Hà Nội.
Đáp án: B. Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn Hà Nội.
Câu 6.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng (ABC), ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Bước 1: Tìm hai vector trong mặt phẳng (ABC):
- Vector
- Vector
Bước 2: Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) bằng cách lấy tích vector của và :
Bước 3: Vector pháp tuyến cũng là vector chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
Bước 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vector chỉ phương :
Do đó, phương trình đường thẳng là:
Đáp án đúng là:
Câu 7.
Để xác định tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, ta cần dựa vào hành vi của hàm số khi tiến đến vô cùng () hoặc âm vô cùng ().
Trong hình vẽ, ta thấy rằng khi tiến đến vô cùng (), đồ thị hàm số tiến gần đến đường thẳng . Tương tự, khi tiến đến âm vô cùng (), đồ thị cũng tiến gần đến đường thẳng .
Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông số và tính toán các đoạn thẳng liên quan.
2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
3. Kết luận.
Bước 1: Xác định các thông số và tính toán các đoạn thẳng liên quan
- Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó AB = AC = .
- Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC.
Bước 2: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
- Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Gọi H là trung điểm của BC, ta có SH vuông góc với BC (vì SA vuông góc với (ABC) và H thuộc (ABC)).
- Mặt khác, AH cũng vuông góc với BC (do ABC là tam giác vuông cân tại A).
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng SH và AH.
Bước 3: Tính toán các đoạn thẳng liên quan
- Độ dài BC = .
- Độ dài AH = .
- Độ dài SH = .
Bước 4: Xác định góc giữa hai đường thẳng SH và AH
- Ta có góc giữa SH và AH là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
- Ta thấy rằng trong tam giác SAH, góc SAH là góc vuông, do đó góc SHA là góc giữa hai đường thẳng SH và AH.
Trong tam giác SAH, ta có:
- SA = a
- AH = a
- SH =
Ta thấy rằng tam giác SAH là tam giác vuông cân tại A, do đó góc SHA = 45°.
Vậy góc nhị diện [S,BC,A] có số đo bằng 45°.
Đáp án đúng là: C. 45°.
Câu 9.
Mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng sẽ có cùng vectơ pháp tuyến với , tức là .
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
Đáp án đúng là:
Câu 10.
Để giải bất phương trình , chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại bất phương trình dưới dạng cùng cơ số:
Ta nhận thấy rằng có thể viết thành . Do đó, bất phương trình trở thành:
2. So sánh các mũ trong bất phương trình:
Vì cơ số là số dương lớn hơn 1, nên ta có thể so sánh trực tiếp các mũ:
3. Giải bất phương trình tuyến tính:
Ta giải bất phương trình như sau:
4. Xác định tập nghiệm:
Tập nghiệm của bất phương trình là:
Như vậy, đáp án đúng là:
Câu 11.
Cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Ta cần tìm số hạng thứ mấy của cấp số nhân này bằng .
Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính theo công thức:
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
Bước 1: Chia cả hai vế cho -2 để đơn giản hóa:
Bước 2: Nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa của :
Bước 3: So sánh hai vế:
Bước 4: Từ đó suy ra:
Vậy số là số hạng thứ 5 của cấp số nhân này.
Đáp án đúng là: A. 5.
Câu 12.
Trọng tâm G của hình tứ diện ABCD là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1. Ta có:
Do đó, mệnh đề đúng là:
C.
Đáp án: C.