Giúp e vs ạ Câu 4. Một khu du lịch sinh thái mới được xây dựng tại vùng núi. Người ta dự định thiết kế một tháp quan sát,để du khách có thể ngắm nhìn toàn cảnh thiên nhiên. Phần chân để của tháp là một bệ hình bình hành ABCD,đặt trên địa hình đồi núi với 3 trong số 4 góc chân đé đã được khảo sát thực địa, có tọa độ như sau (tính theo,đơn vị mét): $\Rightarrow(0,8,-1)=(-5-x,4-y,2-x).$ $AB=DC$ $\begin{array}lx=8\-y=1\end{array}$,- Điểm A : tọa độ $(5,-4,1).$,,- Điểm B : tọa độ $(5,4,0).$ $D(-5,-4,3).$,- Điểm C: tọa độ $(-5,4,2).$,Đỉnh cao nhất (điểm quan sát của tháp) được đặt tại điểm E , có tọa độ (0,0,10) .,a) Điểm D : tọa độ $(-5;-4;3)$,b) Kỹ sư thiết kế cần tính phương trình của mặt phẳng nghiêng tạo bởi ba điểm B,C và,điểm quan sát E . Khi đó phương trình của mặt phẳng này là $4x+45y+20z=200$,c) Góc nghiêng của mặt phẳng kính BCE so với mặt đáy của tháp là 1,02 (rad) (làm,tròn kết quả đến hàng phần trăm) GT.,d) Lắp đặt dây cáp điện đi từ trung điểm của cạnh chân đế AD đến mặt kính BCE, khiiđó độộdàà ngắn nhhất,dây cáp điện cần sử dụng là 6,88 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Question

Giúp e vs ạ Câu 4. Một khu du lịch sinh thái mới được xây dựng tại vùng núi. Người ta dự định thiết kế một tháp quan sát,để du khách có thể ngắm nhìn toàn cảnh thiên nhiên. Phần chân để của tháp là một bệ hình bình hành ABCD,đặt trên địa hình đồi núi với 3 trong số 4 góc chân đé đã được khảo sát thực địa, có tọa độ như sau (tính theo,đơn vị mét): $\Rightarrow(0,8,-1)=(-5-x,4-y,2-x).$ $AB=DC$ $\begin{array}lx=8\-y=1\end{array}$,- Điểm A : tọa độ $(5,-4,1).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/81a6aacc95e447c3a81bcb5e36d1ace1.jpg />,- Điểm B : tọa độ $(5,4,0).$ $D(-5,-4,3).$,- Điểm C: tọa độ $(-5,4,2).$,Đỉnh cao nhất (điểm quan sát của tháp) được đặt tại điểm E , có tọa độ (0,0,10) .,a) Điểm D : tọa độ $(-5;-4;3)$,b) Kỹ sư thiết kế cần tính phương trình của mặt phẳng nghiêng tạo bởi ba điểm B,C và,điểm quan sát E . Khi đó phương trình của mặt phẳng này là $4x+45y+20z=200$,c) Góc nghiêng của mặt phẳng kính BCE so với mặt đáy của tháp là 1,02 (rad) (làm,tròn kết quả đến hàng phần trăm) GT.,d) Lắp đặt dây cáp điện đi từ trung điểm của cạnh chân đế AD đến mặt kính BCE, khiiđó độộdàà ngắn nhhất,dây cáp điện cần sử dụng là 6,88 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết các yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tìm tọa độ của điểm D

Ta biết rằng ABCD là một bệ hình bình hành, do đó các vectơ đối diện bằng nhau:
$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

Tọa độ của các điểm:
- $ A(5, -4, 1) $
- $ B(5, 4, 0) $
- $ C(-5, 4, 2) $

Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$:
$$ \overrightarrow{AB} = (5 - 5, 4 + 4, 0 - 1) = (0, 8, -1) $$

Do $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta có:
$$ \overrightarrow{DC} = (0, 8, -1) $$

Tọa độ của điểm $C$ là $(-5, 4, 2)$, nên tọa độ của điểm $D$ là:
$$ \overrightarrow{DC} = (-5 - x, 4 - y, 2 - z) = (0, 8, -1) $$

Từ đây, ta giải hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
-5 - x = 0 \
4 - y = 8 \
2 - z = -1
\end{cases}
$$
$$ 
\begin{cases}
x = -5 \
y = -4 \
z = 3
\end{cases}
$$

Vậy tọa độ của điểm $D$ là $(-5, -4, 3)$.

b) Phương trình mặt phẳng BCE

Để tìm phương trình mặt phẳng qua ba điểm $B(5, 4, 0)$, $C(-5, 4, 2)$, và $E(0, 0, 10)$, ta cần tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng này:
$$ \overrightarrow{BC} = (-5 - 5, 4 - 4, 2 - 0) = (-10, 0, 2) $$
$$ \overrightarrow{BE} = (0 - 5, 0 - 4, 10 - 0) = (-5, -4, 10) $$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích vector của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BE}$:
$$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BE} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-10 & 0 & 2 \
-5 & -4 & 10
\end{vmatrix} $$
$$ = \mathbf{i}(0 \cdot 10 - 2 \cdot (-4)) - \mathbf{j}(-10 \cdot 10 - 2 \cdot (-5)) + \mathbf{k}(-10 \cdot (-4) - 0 \cdot (-5)) $$
$$ = \mathbf{i}(8) - \mathbf{j}(-100 + 10) + \mathbf{k}(40) $$
$$ = 8\mathbf{i} + 90\mathbf{j} + 40\mathbf{k} $$

Phương trình mặt phẳng:
$$ 8(x - 5) + 90(y - 4) + 40(z - 0) = 0 $$
$$ 8x - 40 + 90y - 360 + 40z = 0 $$
$$ 8x + 90y + 40z = 400 $$
$$ 4x + 45y + 20z = 200 $$

c) Góc nghiêng của mặt phẳng BCE so với mặt đáy

Mặt đáy là mặt phẳng $z = 0$, có vectơ pháp tuyến $(0, 0, 1)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng BCE là $(4, 45, 20)$.

Góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
$$ \cos \theta = \frac{(0, 0, 1) \cdot (4, 45, 20)}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{4^2 + 45^2 + 20^2}} $$
$$ = \frac{20}{1 \cdot \sqrt{16 + 2025 + 400}} $$
$$ = \frac{20}{\sqrt{2441}} $$

Góc $\theta$ là:
$$ \theta = \arccos \left( \frac{20}{\sqrt{2441}} \right) \approx 1.02 \text{ rad} $$

d) Độ dài dây cáp điện

Trung điểm của cạnh $AD$ là:
$$ M = \left( \frac{5 + (-5)}{2}, \frac{-4 + (-4)}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = (0, -4, 2) $$

Độ dài dây cáp từ $M$ đến mặt phẳng BCE:
$$ d = \frac{|4(0) + 45(-4) + 20(2) - 200|}{\sqrt{4^2 + 45^2 + 20^2}} $$
$$ = \frac{|0 - 180 + 40 - 200|}{\sqrt{2441}} $$
$$ = \frac{|-340|}{\sqrt{2441}} $$
$$ = \frac{340}{\sqrt{2441}} \approx 6.88 \text{ m} $$

Vậy, độ dài dây cáp điện cần sử dụng là 6.88 m.