Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng mọi số thực dương đều có thể biểu diễn dưới dạng lôgarit cơ số (số tự nhiên). Cụ thể, .
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra đáp án đúng.
A.
Điều kiện: vì cơ số của lôgarit phải lớn hơn 0 và khác 1.
B.
Điều kiện: vì cơ số của lôgarit phải lớn hơn 0 và khác 1.
C.
Điều kiện: vì cơ số của lôgarit phải lớn hơn 0 và khác 1.
D.
Điều kiện: và vì cơ số của lôgarit phải lớn hơn 0 và khác 1.
Chúng ta thấy rằng vì lôgarit của một số với cơ số chính là số đó luôn bằng 1. Do đó, .
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có D là đúng vì .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2.
Để xác định hàm số có đồ thị như hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho.
A.
- Đây là hàm đa thức bậc ba, có dạng đồ thị là một đường cong uốn lượn.
- Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm:
- Khi :
- Khi :
- Khi :
- Đồ thị của hàm số này có thể có các điểm uốn và các đoạn tăng/giảm khác nhau.
B.
- Đây là hàm đa thức bậc hai, có dạng đồ thị là một parabol.
- Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm:
- Khi :
- Khi :
- Khi :
- Đồ thị của hàm số này là một parabol mở lên, đỉnh ở .
C.
- Đây là hàm phân thức, có dạng đồ thị là một đường cong có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm:
- Khi :
- Khi :
- Khi : (không xác định vì mẫu số bằng 0)
- Đồ thị của hàm số này có tiệm cận đứng tại và tiệm cận ngang tại .
D.
- Đây cũng là hàm phân thức, có dạng đồ thị là một đường cong có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm:
- Khi :
- Khi :
- Khi : (không xác định vì mẫu số bằng 0)
- Đồ thị của hàm số này có tiệm cận đứng tại và tiệm cận ngang tại .
So sánh các đồ thị trên với hình vẽ, ta thấy rằng đồ thị của hàm số có dạng giống với hình vẽ, có tiệm cận đứng tại và tiệm cận ngang tại .
Vậy đáp án đúng là: C. .
Câu 3.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'B'C'D') chính là chiều cao của hình hộp chữ nhật, tức là đoạn thẳng AA'.
Do đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'B'C'D') là:
Vậy đáp án đúng là:
C. 4.
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của tích phân. Cụ thể, nếu ta biết giá trị của hai tích phân riêng lẻ, ta có thể kết hợp chúng để tìm giá trị của tích phân tổng.
Giả sử:
Thì tích phân từ đến sẽ là:
Trong bài toán này, ta có:
Ta cần tìm giá trị của:
Áp dụng tính chất của tích phân, ta có:
Thay các giá trị đã biết vào:
Như vậy, giá trị của tích phân là 4.
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 5.
Mặt cầu có phương trình .
Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu là điểm .
Do đó, tâm của mặt cầu có tọa độ là .
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 6.
Để tính xác suất của biến cố khi hai biến cố và xung khắc với nhau, ta sử dụng công thức xác suất của biến cố tổng của hai biến cố xung khắc:
Trong đó:
- là xác suất của biến cố ,
- là xác suất của biến cố .
Theo đề bài, ta có:
-
-
Áp dụng công thức trên, ta có:
Vậy xác suất của biến cố là 0,9.
Đáp án đúng là: B. 0,9.
Câu 7.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính toán số trung bình của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và .
Bước 1: Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Trước tiên, chúng ta cần tính tổng của tất cả các giá trị trong mỗi nhóm và sau đó chia cho tổng số lượng các giá trị.
- Nhóm [1;3): Trung điểm là 2, tần số là 6
- Nhóm [3;5): Trung điểm là 4, tần số là 12
- Nhóm [5;7): Trung điểm là 6, tần số là 9
- Nhóm [7;9): Trung điểm là 8, tần số là 15
- Nhóm [9;11): Trung điểm là 10, tần số là 18
Tổng các giá trị:
Tổng số lượng các giá trị:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm :
Bước 2: Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
- Nhóm [1;3): Trung điểm là 2, tần số là 2
- Nhóm [3;5): Trung điểm là 4, tần số là 4
- Nhóm [5;7): Trung điểm là 6, tần số là 3
- Nhóm [7;9): Trung điểm là 8, tần số là 5
- Nhóm [9;11): Trung điểm là 10, tần số là 6
Tổng các giá trị:
Tổng số lượng các giá trị:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm :
Kết luận
Ta thấy rằng:
Do đó, phát biểu đúng là:
Đáp án đúng là:
Câu 8.
Hàm số là hàm hằng, tức là giá trị của hàm số không phụ thuộc vào biến số . Do đó, hàm số này có thể được định nghĩa trên toàn bộ tập số thực .
Vậy tập xác định của hàm số là:
Đáp số: