Câu 3.
Để tính tích phân , chúng ta sẽ sử dụng công thức cơ bản của tích phân hàm mũ.
Bước 1: Xác định nguyên hàm của .
Nguyên hàm của là .
Bước 2: Áp dụng công thức tích phân xác định:
Bước 3: Tính giá trị tại các cận trên và cận dưới:
Vậy tích phân bằng .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 4.
Công thức tính thể tích của khối chóp là:
Trong đó:
- là thể tích của khối chóp,
- là diện tích đáy của khối chóp,
- là chiều cao của khối chóp.
Theo đề bài, ta có:
Thay các giá trị này vào công thức trên, ta có:
Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm :
Vậy chiều cao của khối chóp là 6 cm.
Đáp án đúng là: B. 6 cm.
Câu 5.
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với bất phương trình , ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương:
2. Giải bất phương trình logarit:
- Ta có . Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của logarit:
- Vì hàm logarit cơ sở 2 là hàm đồng biến, nên ta có:
- Giải bất phương trình này:
3. Xác định tập nghiệm:
- Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bước 2 , ta có:
- Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 6.
Để tìm các nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Nhận biết dạng của hàm số:
Hàm số có thể được viết lại dưới dạng:
Trong đó, .
2. Tìm nguyên hàm của :
Ta biết rằng:
3. Áp dụng vào hàm số đã cho:
Do đó, nguyên hàm của sẽ là:
Vậy, các nguyên hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7.
Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng:
2. Chia cả tử và mẫu cho :
3. Tính giới hạn của các phân số trong tử và mẫu:
Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Đáp án đúng là: .
Câu 8.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của căn bậc ba và lũy thừa.
Bước 1: Xác định căn bậc ba của .
Bước 2: Áp dụng công thức căn bậc ba của một lũy thừa:
Như vậy, đáp án đúng là:
Câu 9.
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sẽ có cùng vectơ pháp tuyến với mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) là:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm và có cùng vectơ pháp tuyến .
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:
Rút gọn phương trình này:
Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là:
Đáp án đúng là:
Câu 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm phương trình của mặt phẳng (Q):
- Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), do đó chúng có cùng vector pháp tuyến. Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
- Mặt phẳng (Q) đi qua điểm và có cùng vector pháp tuyến .
- Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: .
- Rút gọn phương trình: .
2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
trong đó là các hệ số của trong phương trình mặt phẳng, và là các hằng số tự do trong phương trình của hai mặt phẳng.
- Đối với mặt phẳng (P): , ta có .
- Đối với mặt phẳng (Q): , ta có .
- Thay vào công thức:
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là .
Đáp án đúng là: .
Câu 11.
Để tìm nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số lượng học sinh:
Tổng số học sinh là 40.
2. Xác định vị trí của trung vị:
Vì số lượng học sinh là 40 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 20 và 21 trong dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
3. Xác định nhóm chứa trung vị:
Ta sẽ kiểm tra từng nhóm để xác định nhóm chứa trung vị:
- Nhóm [12; 16): 6 học sinh
- Nhóm [16; 20): 17 học sinh
- Nhóm [20; 24): 11 học sinh
- Nhóm [24; 28): 4 học sinh
- Nhóm [28; 32): 2 học sinh
Ta thấy rằng:
- Nhóm [12; 16) có 6 học sinh, không đủ để chứa trung vị.
- Nhóm [16; 20) có 17 học sinh, tổng từ nhóm [12; 16) và nhóm [16; 20) là 6 + 17 = 23 học sinh, đủ để chứa trung vị.
Do đó, nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm [16; 20).
Đáp án: D. [16; 20)
Câu 12.
Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình hộp ABCD.EFGH:
- O là trung điểm của đoạn thẳng CH.
- Ta cần kiểm tra các khẳng định về vị trí của O và các đường thẳng liên quan.
Bây giờ, ta sẽ xem xét từng khẳng định:
1. O nằm trên mặt phẳng (ABCD):
- O là trung điểm của CH, tức là O nằm giữa C và H.
- Mặt phẳng (ABCD) bao gồm các đỉnh A, B, C, D và không bao gồm H.
- Do đó, O không nằm trên mặt phẳng (ABCD).
2. O nằm trên đường thẳng EF:
- EF là đường thẳng nối hai đỉnh E và F của hình hộp.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng EF.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng EF.
3. O nằm trên đường thẳng BD:
- BD là đường chéo của đáy hình hộp ABCD.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng BD.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng BD.
4. O nằm trên đường thẳng AG:
- AG là đường thẳng nối đỉnh A của đáy ABCD và đỉnh G của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng AG.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng AG.
5. O nằm trên đường thẳng FH:
- FH là đường thẳng nối đỉnh F của đáy EFGH và đỉnh H của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng FH.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng FH.
6. O nằm trên đường thẳng CG:
- CG là đường thẳng nối đỉnh C của đáy ABCD và đỉnh G của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng CG.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng CG.
7. O nằm trên đường thẳng DG:
- DG là đường thẳng nối đỉnh D của đáy ABCD và đỉnh G của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng DG.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng DG.
8. O nằm trên đường thẳng BH:
- BH là đường thẳng nối đỉnh B của đáy ABCD và đỉnh H của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng BH.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng BH.
9. O nằm trên đường thẳng DH:
- DH là đường thẳng nối đỉnh D của đáy ABCD và đỉnh H của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng DH.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng DH.
10. O nằm trên đường thẳng AH:
- AH là đường thẳng nối đỉnh A của đáy ABCD và đỉnh H của đáy EFGH.
- O là trung điểm của CH, không liên quan trực tiếp đến đường thẳng AH.
- Do đó, O không nằm trên đường thẳng AH.
Từ các lập luận trên, ta thấy rằng O không nằm trên bất kỳ đường thẳng nào trong các đường thẳng đã liệt kê. Tuy nhiên, O nằm trên đường thẳng CH, nhưng CH không phải là một trong các đường thẳng được liệt kê trong các khẳng định.
Do đó, không có khẳng định nào trong các khẳng định đã cho là đúng.
Đáp án: Không có khẳng định nào đúng.