Câu 1.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu.
Trong bảng thống kê doanh thu, ta thấy:
- Giá trị nhỏ nhất của doanh thu là 1 triệu đồng (ở nhóm [1;3)).
- Giá trị lớn nhất của doanh thu là 15 triệu đồng (ở nhóm [13;15)).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Vậy đáp án đúng là D. 14.
Đáp án: D. 14.
Câu 2.
Để tìm góc giữa hai vectơ và , ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
Trước tiên, ta tính tích vô hướng :
Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ:
Bây giờ, ta thay vào công thức cosin:
Vậy:
Góc có cosin bằng -1 là góc 180°.
Do đó, góc giữa hai vectơ và là:
Câu 3.
Điều kiện xác định:
Bất phương trình có thể được viết lại dưới dạng:
Kết hợp điều kiện xác định và bất phương trình đã giải, ta có:
Các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện trên là:
Vậy có 4 nghiệm nguyên.
Đáp án đúng là: D. 4.
Câu 4.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sẽ có vectơ chỉ phương giống với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
3. Lập phương trình đường thẳng:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
hoặc dưới dạng phương trình đoạn thẳng:
Do đó, phương án đúng là:
Câu 5.
Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Áp dụng vào bài toán:
- Điểm có tọa độ
- Mặt phẳng có các hệ số , , , và
Thay vào công thức:
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là 2.
Đáp án đúng là: C. 2.
Câu 6.
Để tìm công bội của cấp số nhân , ta sử dụng công thức của cấp số nhân:
Trong đó:
-
-
Áp dụng công thức trên vào :
Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm :
Lấy căn bậc ba của cả hai vế:
Vậy công bội của cấp số nhân là .
Đáp án đúng là: B. -3.
Câu 7.
Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm giới hạn của hàm số khi và :
Ta xét giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng dương và vô cùng âm.
Chia cả tử và mẫu cho :
Tương tự, ta xét giới hạn khi :
Chia cả tử và mẫu cho :
2. Kết luận:
Vì giới hạn của hàm số khi và đều bằng -1, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Để tính , ta sử dụng tính chất của tích phân:
Biết rằng:
Thay vào công thức trên, ta có:
Giải phương trình này để tìm :
Vậy . Đáp án đúng là C. -6.
Câu 9.
Để tính thể tích của khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính diện tích đáy (tam giác ABC):
- Tam giác ABC là tam giác vuông tại B, do đó diện tích của tam giác ABC là:
2. Xác định chiều cao của khối chóp:
- Chiều cao của khối chóp từ đỉnh S đến đáy (ABC) là SA, và theo đề bài, SA = a.
3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:
- Thể tích V của khối chóp S.ABC được tính bằng công thức:
- Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là .
Đáp án đúng là: C.~.
Câu 10.
Phương trình có nghiệm là:
Trên khoảng , ta chỉ xét các giá trị của sao cho .
- Khi :
Thỏa mãn điều kiện .
- Khi :
Không thỏa mãn điều kiện .
- Khi :
Không thỏa mãn điều kiện .
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình trên khoảng là:
Đáp án đúng là: .
Câu 11.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số .
Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức :
Bước 2: Áp dụng công thức hạ bậc:
Do đó,
Bước 3: Tính nguyên hàm của :
Bước 4: Tính nguyên hàm từng phần:
Vậy,
Kết luận: Nguyên hàm của là . Do đó, khẳng định đúng là: