Câu 1.
Để tìm nguyên hàm của biểu thức , chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ.
1. Tính nguyên hàm của :
2. Tính nguyên hàm của :
3. Kết hợp hai kết quả trên:
Trong đó, là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả và .
Vậy, nguyên hàm của là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 2.
Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng và quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định diện tích S của hình phẳng:
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng và được tính bằng tích phân:
2. Tính tích phân:
Ta tính tích phân trên đoạn [-6, -4]:
Thay các giá trị vào:
3. Tính thể tích khối tròn xoay:
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox được tính bằng công thức:
Thay vào:
Tính tích phân:
Thay các giá trị vào:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 3.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu.
Trong bảng đã cho:
- Giá trị nhỏ nhất của điểm thi là 2 (ở nhóm [2; 4)).
- Giá trị lớn nhất của điểm thi là 12 (ở nhóm [10; 12)).
Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Vậy đáp án đúng là:
C. 10
Đáp số: 10
Câu 4.
Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và nhận vectơ làm véctơ pháp tuyến, ta sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:
Trong đó:
- là các thành phần của véctơ pháp tuyến ,
- là tọa độ của điểm .
Thay các giá trị vào công thức trên:
Mở ngoặc và đơn giản hóa:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 5.
Để tính tổng tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau 2 tháng khi gửi tiết kiệm theo hình thức lãi suất kép, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định lãi suất hàng tháng và thời gian gửi tiết kiệm.
- Lãi suất hàng tháng: 0,44% = 0,0044
- Thời gian gửi tiết kiệm: 2 tháng
Bước 2: Áp dụng công thức lãi suất kép để tính tổng tiền cả vốn lẫn lãi.
Công thức lãi suất kép:
- là tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng.
- là số tiền ban đầu (tiền gốc).
- là lãi suất hàng tháng.
- là số tháng gửi tiết kiệm.
Áp dụng vào bài toán:
- triệu đồng
-
-
Tính tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau 2 tháng:
Vậy tổng tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau 2 tháng là 89,78 triệu đồng.
Đáp án đúng là: B. 89,78 triệu đồng.
Câu 6.
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và , ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, chéo nhau hoặc cắt nhau.
1. Kiểm tra điều kiện song song:
- Vector chỉ phương của đường thẳng là .
- Vector chỉ phương của đường thẳng là .
Ta kiểm tra xem và có cùng phương hay không:
Thử với :
Điều này đúng, vậy và cùng phương, tức là hai đường thẳng và song song hoặc trùng nhau.
2. Kiểm tra điều kiện trùng nhau:
- Một điểm trên đường thẳng là .
- Một điểm trên đường thẳng là .
Ta kiểm tra xem điểm có thuộc đường thẳng hay không bằng cách thay tọa độ của vào phương trình của :
Điều này sai, vậy điểm không thuộc đường thẳng . Do đó, hai đường thẳng và không trùng nhau.
Từ các bước trên, ta kết luận rằng hai đường thẳng và song song.
Đáp án: C. d song song với d'.
Câu 7.
Trước tiên, ta cần biết công thức của số hạng tổng quát của một cấp số cộng. Số hạng thứ n của một cấp số cộng được tính theo công thức:
Trong đó:
- là số hạng thứ n,
- là số hạng đầu tiên,
- là công sai của cấp số cộng.
Ta đã biết:
Áp dụng công thức trên vào hai số hạng này, ta có:
Bây giờ, ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (2):
Sau khi tìm được công sai , ta thay lại vào phương trình (1) để tìm :
Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Đáp án đúng là: .