Tìm giới hạn dãy số. b. Cho dãy số $(u_s)$ xác định bởi: $\left\{\begin{array}{ll}u_1=2022;u_2=2023&\u_{n+1}=\frac{2u_n+u_{n+1}}3&(n\geq2,n\in\mathbb{N})\end{array} ight.$,Tính giới hạn của dãy số $(u_x)$

Question

Tìm giới hạn dãy số. b. Cho dãy số $(u_s)$ xác định bởi: $\left\{\begin{array}{ll}u_1=2022;u_2=2023&\u_{n+1}=\frac{2u_n+u_{n+1}}3&(n\geq2,n\in\mathbb{N})\end{array}ight.$,Tính giới hạn của dãy số $(u_x)$

Accepted Answer

Để tìm giới hạn của dãy số $(u_n)$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định công thức đệ quy của dãy số.
Ta có:
$$ u_1 = 2022 $$
$$ u_2 = 2023 $$
$$ u_{n+1} = \frac{2u_n + u_{n-1}}{3} \quad (n \geq 2, n \in \mathbb{N}) $$

Bước 2: Giả sử dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $L$. Ta sẽ tìm $L$ bằng cách thay vào công thức đệ quy.

Giả sử $\lim_{n \to \infty} u_n = L$, ta có:
$$ \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = L $$
$$ \lim_{n \to \infty} u_n = L $$
$$ \lim_{n \to \infty} u_{n-1} = L $$

Thay vào công thức đệ quy:
$$ L = \frac{2L + L}{3} $$
$$ L = \frac{3L}{3} $$
$$ L = L $$

Bước 3: Giải phương trình để tìm $L$.
$$ L = \frac{2L + L}{3} $$
$$ 3L = 2L + L $$
$$ 3L = 3L $$

Phương trình này đúng với mọi giá trị của $L$, do đó ta cần kiểm tra thêm các giá trị ban đầu của dãy số để xác định giới hạn cụ thể.

Bước 4: Kiểm tra các giá trị ban đầu của dãy số.
Ta thấy rằng:
$$ u_1 = 2022 $$
$$ u_2 = 2023 $$

Các giá trị ban đầu gần nhau, do đó ta giả sử giới hạn của dãy số là trung bình cộng của hai giá trị này:
$$ L = \frac{2022 + 2023}{2} = 2022.5 $$

Vậy giới hạn của dãy số $(u_n)$ là:
$$ \lim_{n \to \infty} u_n = 2022.5 $$

Đáp số: $\lim_{n \to \infty} u_n = 2022.5$