Giải chi tiết hộ câu 10 ạ Câu 10. Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_3=8$ và công bội $q=-2.$ Giá trị của $u_2$ bang g = 14. -2,D. -4.,CângH:: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi các điểm M,N lần lượt là,trung điểm của SB và SC. Khi đó góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng,$A.~30^0.$ $D.~90^0.$,$B.~60^0.$ $C.~45^0.$

Question

Accepted Answer

Câu 10:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ giải từng phần một cách chi tiết.

Phần 1: Tìm giá trị của $ u_2 $

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $ u_3 = 8 $ và công bội $ q = -2 $.

Công thức tổng quát của cấp số nhân là:
$$ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} $$

Với $ n = 3 $, ta có:
$$ u_3 = u_1 \cdot q^2 = 8 $$

Thay $ q = -2 $ vào, ta có:
$$ u_1 \cdot (-2)^2 = 8 $$
$$ u_1 \cdot 4 = 8 $$
$$ u_1 = 2 $$

Bây giờ, tìm $ u_2 $:
$$ u_2 = u_1 \cdot q = 2 \cdot (-2) = -4 $$

Vậy giá trị của $ u_2 $ là $-4$.

Phần 2: Tìm góc giữa hai đường thẳng $ MN $ và $ AB $

Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân tại $ A $. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ SB $ và $ SC $.

Bước 1: Xác định vị trí các điểm

- Tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $ có nghĩa là $ AB = AC $ và $ \angle BAC = 90^\circ $.
- Giả sử $ A(0, 0, 0) $, $ B(b, 0, 0) $, $ C(0, c, 0) $ với $ b = c $ do tam giác vuông cân.

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm $ M $ và $ N $

- Giả sử $ S(0, 0, h) $.
- Trung điểm $ M $ của $ SB $ có tọa độ:
  $$ M\left(\frac{0+b}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{h+0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0, \frac{h}{2}\right) $$

- Trung điểm $ N $ của $ SC $ có tọa độ:
  $$ N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+c}{2}, \frac{h+0}{2}\right) = \left(0, \frac{c}{2}, \frac{h}{2}\right) $$

Bước 3: Tính góc giữa $ MN $ và $ AB $

- Vector $ \overrightarrow{MN} = \left(0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - 0, \frac{h}{2} - \frac{h}{2}\right) = \left(-\frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right) $
- Vector $ \overrightarrow{AB} = (b, 0, 0) $

Góc giữa hai vector được tính bằng công thức:
$$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{MN}\| \cdot \|\overrightarrow{AB}\|} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{b}{2}\right) \cdot b + \frac{c}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{b^2}{2} $$

Tính độ dài các vector:
$$ \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \sqrt{\frac{b^2 + c^2}{4}} = \frac{\sqrt{2b^2}}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2} $$
$$ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{b^2} = b $$

Vì $ b = c $, ta có:
$$ \cos \theta = \frac{-\frac{b^2}{2}}{\frac{b\sqrt{2}}{2} \cdot b} = \frac{-\frac{b^2}{2}}{\frac{b^2\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$

Do đó, $ \theta = 135^\circ $, nhưng góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên góc giữa $ MN $ và $ AB $ là:
$$ 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $ MN $ và $ AB $ là $ 45^\circ $.

Kết luận: Đáp án cho phần 2 là $ C.~45^\circ $.