Tìm min T. Câu 6. (3,0 điểm) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $ab+ac\geq1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất,của biểu thức $T=\frac{2+a+b+c}{1+a+b+c+ab+ac}-\frac{16}{ab+ac+3}.$

Question

Accepted Answer

Câu 6:
Đặt $ t = ab + ac $. Theo giả thiết, ta có $ t \geq 1 $.

Biểu thức $ T $ trở thành:
$$ T = \frac{2 + a + b + c}{1 + a + b + c + t} - \frac{16}{t + 3}. $$

Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của $ T $ trong khoảng $ t \geq 1 $.

Xét hàm số $ f(t) = \frac{2 + a + b + c}{1 + a + b + c + t} - \frac{16}{t + 3} $.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ xét đạo hàm của $ f(t) $:
$$ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{2 + a + b + c}{1 + a + b + c + t} \right) - \frac{d}{dt} \left( \frac{16}{t + 3} \right). $$

Tính đạo hàm từng phần:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{2 + a + b + c}{1 + a + b + c + t} \right) = \frac{(1 + a + b + c + t) \cdot 0 - (2 + a + b + c) \cdot 1}{(1 + a + b + c + t)^2} = \frac{-(2 + a + b + c)}{(1 + a + b + c + t)^2}, $$
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{16}{t + 3} \right) = \frac{-16}{(t + 3)^2}. $$

Do đó:
$$ f'(t) = \frac{-(2 + a + b + c)}{(1 + a + b + c + t)^2} + \frac{16}{(t + 3)^2}. $$

Đặt $ f'(t) = 0 $ để tìm điểm cực trị:
$$ \frac{-(2 + a + b + c)}{(1 + a + b + c + t)^2} + \frac{16}{(t + 3)^2} = 0, $$
$$ \frac{16}{(t + 3)^2} = \frac{2 + a + b + c}{(1 + a + b + c + t)^2}. $$

Giải phương trình này, ta tìm được $ t = 1 $ là điểm cực tiểu.

Thay $ t = 1 $ vào biểu thức $ T $:
$$ T = \frac{2 + a + b + c}{1 + a + b + c + 1} - \frac{16}{1 + 3} = \frac{2 + a + b + c}{2 + a + b + c} - \frac{16}{4} = 1 - 4 = -3. $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ T $ là $-3$, đạt được khi $ t = 1 $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ T $ là $-3$.