Câu 8 nhé. Câu 8 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân $(AD//BC),BC=2a,AB$,$=AD=DC=a(a0).$ Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD,vuông góc với AC.,a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính độ dài đoạn thẳng SD.,b) Mặt phẳng (a) đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với,đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng,$(\alpha)$ biết $MD=x.$ Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Question

Câu 8 nhé. Câu 8 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân $(AD//BC),BC=2a,AB$,$=AD=DC=a(a>0).$ Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD,vuông góc với AC.,a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính độ dài đoạn thẳng SD.,b) Mặt phẳng (a) đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với,đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng,$(\alpha)$ biết $MD=x.$ Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Accepted Answer

Câu 8:
Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết bài toán theo các quy tắc đã nêu. Bạn có bài toán cụ thể nào cần giải không? Hãy cho tôi biết để tôi có thể hỗ trợ bạn tốt nhất.

Câu 8:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và tính độ dài đoạn thẳng SD.

Chứng minh (SBC) vuông góc với (ABCD):

1. Xác định các yếu tố hình học:
   - Đáy ABCD là hình thang cân với $AD \parallel BC$.
   - Tam giác SBC là tam giác đều.
   - SD vuông góc với AC.

2. Chứng minh (SBC) vuông góc với (ABCD):
   - Do SD vuông góc với AC và AC nằm trong mặt phẳng (ABCD), suy ra SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
   - Trong tam giác đều SBC, SC = SB = BC = 2a.
   - Vì SD vuông góc với AC, và AC là đường chéo của hình thang cân ABCD, nên SD cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Tính độ dài đoạn thẳng SD:

- Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD là hình thang cân, O là trung điểm của AC và BD.
- Xét tam giác vuông SDC với SD vuông góc với AC, ta có:
  $$
  SC^2 = SD^2 + DC^2
  $$
  $$
  (2a)^2 = SD^2 + a^2
  $$
  $$
  4a^2 = SD^2 + a^2
  $$
  $$
  SD^2 = 3a^2
  $$
  $$
  SD = a\sqrt{3}
  $$

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và tìm $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất.

Xác định thiết diện:

1. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M thuộc OD và song song với SD và AC:
   - Do $(\alpha)$ song song với SD, $(\alpha)$ cắt SC tại điểm N sao cho $MN \parallel SD$.
   - Do $(\alpha)$ song song với AC, $(\alpha)$ cắt AB và CD tại các điểm P và Q sao cho $PQ \parallel AC$.

2. Xác định thiết diện:
   - Thiết diện là tứ giác MNPQ.
   - Do $MN \parallel SD$ và $PQ \parallel AC$, thiết diện MNPQ là hình bình hành.

Tìm $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất:

- Diện tích hình bình hành MNPQ là $MN \times PQ$.
- Do $MN \parallel SD$ và $PQ \parallel AC$, ta có:
  $$
  MN = \frac{x}{OD} \times SD = \frac{x}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} \times a\sqrt{3} = \frac{2x\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
  $$
  $$
  PQ = \frac{x}{OD} \times AC = \frac{x}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} \times a\sqrt{5} = 2x
  $$
- Diện tích $S = MN \times PQ = \frac{2x\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \times 2x = \frac{4x^2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.

- Để diện tích lớn nhất, $x$ phải đạt giá trị lớn nhất trong khoảng $0 < x < a\sqrt{5}/2$.

- Do $S$ là hàm bậc hai của $x$, đạt cực đại khi $x = \frac{a\sqrt{5}}{4}$.

Vậy, giá trị $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất là $x = \frac{a\sqrt{5}}{4}$.