cos x/ 1-sin x = cot (pi/4-x/2)

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định:
- $1 - \sin x \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k2\pi$
- $x$ không làm mẫu số của $\cot$ bằng 0, tức là $x \neq \pi + k\pi$

Phương trình đã cho:
$$ \frac{\cos x}{1 - \sin x} = \cot \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) $$

Biến đổi vế trái:
$$ \frac{\cos x}{1 - \sin x} = \frac{\cos x}{1 - \sin x} \cdot \frac{1 + \sin x}{1 + \sin x} = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x} $$

Biến đổi vế phải:
$$ \cot \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)} $$

Sử dụng công thức cộng góc:
$$ \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) $$
$$ \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) $$

Do đó:
$$ \cot \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} $$

Bây giờ ta có phương trình:
$$ \frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} $$

Nhân chéo:
$$ (1 + \sin x)(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) = \cos x (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) $$

Biến đổi tiếp:
$$ \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + \sin x \cos \frac{x}{2} - \sin x \sin \frac{x}{2} = \cos x \cos \frac{x}{2} + \cos x \sin \frac{x}{2} $$

Sử dụng công thức nhân đôi:
$$ \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} $$
$$ \cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} $$

Thay vào phương trình:
$$ \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) \cos \frac{x}{2} + (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) \sin \frac{x}{2} $$

Rút gọn:
$$ \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \cos^3 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} - \sin^3 \frac{x}{2} $$

Cuối cùng, ta có:
$$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{(với $k$ là số nguyên)} $$