Giúp mình với!

Linh Cao

a)

1. Chứng minh AE⋅AB=AD⋅AC
2. AE⋅AB=AD⋅AC.
3. Chứng minh AD⋅BC=AB⋅DE
4. AD⋅BC=AB⋅DE.
5. Chứng minh AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE
6. AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE.

Gợi ý: Sử dụng đồng dạng c.g.c.

Đặt ABAC=BDCE=ADAE=k

AC

AB

​=CE

BD

​=AE

AD

​=k.

Lời giải:

1. Chứng minh AE⋅AB=AD⋅AC
2. AE⋅AB=AD⋅AC

Xét △ADE

△ADE và △ABC

△ABC, ta có:

• ∠A
• ∠A chung.
• ∠ADE=∠ABC
• ∠ADE=∠ABC (cùng phụ với ∠C
• ∠C).

⇒△ADE∼△ABC

⇒△ADE∼△ABC (g.g)

⇒ADAB=AEAC

⇒AB

AD

​=AC

AE

​

⇒AE⋅AB=AD⋅AC

⇒AE⋅AB=AD⋅AC (đpcm)

1. Chứng minh AD⋅BC=AB⋅DE
2. AD⋅BC=AB⋅DE

Từ △ADE∼△ABC

△ADE∼△ABC (cmt)

⇒DEBC=ADAB

⇒BC

DE

​=AB

AD

​

⇒AD⋅BC=AB⋅DE

⇒AD⋅BC=AB⋅DE (đpcm)

1. Chứng minh AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE
2. AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE

Ta có: ABAC=BDCE=ADAE=k

AC

AB

​=CE

BD

​=AE

AD

​=k

⇒BD=k⋅CE;AB=k⋅AC;AD=k⋅AE

⇒BD=k⋅CE;AB=k⋅AC;AD=k⋅AE

Ta cần chứng minh: AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE

AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE

Thay thế, ta có:

k⋅AC⋅AC=k⋅AE⋅AE+k⋅CE⋅CE

k⋅AC⋅AC=k⋅AE⋅AE+k⋅CE⋅CE

Chia cả hai vế cho k, ta được:

AC2=AE2+CE2

AC2

=AE2

+CE2

Mà △AEC

△AEC vuông tại E (CE là đường cao) nên theo định lý Pythago, ta có AC2=AE2+CE2

AC2

=AE2

+CE2

 (luôn đúng)

Vậy AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE

AB⋅AC=AD⋅AE+BD⋅CE (đpcm)

b)

1. Chứng minh DH⋅DB=DA⋅DC
2. DH⋅DB=DA⋅DC.
3. Chứng minh BE⋅BA+CD⋅CA=BC2
4. BE⋅BA+CD⋅CA=BC2
5. .

Gợi ý: Sử dụng 2 góc cùng cộng với 1 góc = 90 độ thì 2 góc đó = nhau.

Lời giải:

1. Chứng minh DH⋅DB=DA⋅DC
2. DH⋅DB=DA⋅DC

Xét △ADH

△ADH và △CDB

△CDB, ta có:

• ∠ADH=∠CDB
• ∠ADH=∠CDB (đối đỉnh)
• ∠DAH=∠DCB
• ∠DAH=∠DCB (cùng phụ với ∠ABC
• ∠ABC)

⇒△ADH∼△CDB

⇒△ADH∼△CDB (g.g)

⇒DADB=DHDC

⇒DB

DA

​=DC

DH

​

⇒DH⋅DB=DA⋅DC

⇒DH⋅DB=DA⋅DC (đpcm)

1. Chứng minh BE⋅BA+CD⋅CA=BC2
2. BE⋅BA+CD⋅CA=BC2

Xét △BEC

△BEC và △BAC

△BAC, ta có:

• ∠B
• ∠B chung
• ∠BEC=∠BAC=90∘
• ∠BEC=∠BAC=90∘

⇒△BEC∼△BAC

⇒△BEC∼△BAC (g.g)

⇒BEBC=BCBA

⇒BC

BE

​=BA

BC

​

⇒BE⋅BA=BC2

⇒BE⋅BA=BC2

Tương tự, xét △BDC

△BDC và △BAC

△BAC, ta có:

• ∠C
• ∠C chung
• ∠BDC=∠BAC=90∘
• ∠BDC=∠BAC=90∘

⇒△BDC∼△BAC

⇒△BDC∼△BAC (g.g)

⇒CDBC=BCCA

⇒BC

CD

​=CA

BC

​

⇒CD⋅CA=BC2

⇒CD⋅CA=BC2

Ta cần chứng minh: BE⋅BA+CD⋅CA=BC2

BE⋅BA+CD⋅CA=BC2

. Có vẻ như có một sự nhầm lẫn nhỏ ở đây, vì cả hai tích BE⋅BA

BE⋅BA và CD⋅CA

CD⋅CA đều bằng BC2

BC2

, nên tổng của chúng không thể bằng BC2

BC2

 được. Biểu thức đúng phải là BE⋅CA+CD⋅CA=BC2

BE⋅CA+CD⋅CA=BC2

.

c) Kẻ BF // DE; F thuộc AC. I là trung điểm của BF. DI cắt BC tại K. Chứng minh:

1. ∠IDC=∠ADE=∠ABC
2. ∠IDC=∠ADE=∠ABC.
3. CK⋅CB=CD⋅CA
4. CK⋅CB=CD⋅CA.
5. AK vuông góc BC.

Gợi ý: Sử dụng TC tam giác vuông: trung tuyến = ½ cạnh huyền.

Lời giải:

1. Chứng minh ∠IDC=∠ADE=∠ABC
2. ∠IDC=∠ADE=∠ABC

Vì BF // DE nên ∠FBC=∠ADE

∠FBC=∠ADE (đồng vị)

Mà ∠ADE=∠ABC

∠ADE=∠ABC (cmt)

⇒∠FBC=∠ABC

⇒∠FBC=∠ABC

⇒∠FBC=∠FBA

⇒∠FBC=∠FBA

Xét △BFC

△BFC, BI là đường trung tuyến (I là trung điểm của BF)

Mà BI = FI = 12

2

1

​ BF

⇒△BFC

⇒△BFC vuông tại C

⇒BC⊥CF

⇒BC⊥CF

Mà CF là một phần của AC nên BC ⊥

⊥ AC (vô lý vì ABC là tam giác thường)