Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H.
a) CM $BH imes BD=BC imes BK$ và $BH imes BD+CH imes CE=BC^2$
b) CM $BH=AC imes$cotABC
c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP = MQ .

Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H.
a) CM $BH	imes BD=BC	imes BK$ và $BH	imes BD+CH	imes CE=BC^2$
b) CM $BH=AC	imes$cotABC
c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP = MQ .

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $ BH \times BD = BC \times BK $ và $ BH \times BD + CH \times CE = BC^2 $

Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và các đường cao.

1. Chứng minh $ BH \times BD = BC \times BK $:

- Xét tam giác vuông $ \triangle BHD $ và $ \triangle BKC $, ta có:
     - $ \angle BHD = \angle BKC = 90^\circ $
     - $ \angle HBD = \angle KBC $ (cùng phụ với $ \angle ABC $)

- Do đó, hai tam giác $ \triangle BHD $ và $ \triangle BKC $ đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
     $$
     \frac{BH}{BC} = \frac{BD}{BK}
     $$

- Suy ra:
     $$
     BH \times BK = BD \times BC
     $$

2. Chứng minh $ BH \times BD + CH \times CE = BC^2 $:

- Từ phần trên, ta đã có $ BH \times BD = BC \times BK $.

- Tương tự, xét tam giác vuông $ \triangle CHD $ và $ \triangle CKE $, ta có:
     - $ \angle CHD = \angle CKE = 90^\circ $
     - $ \angle HCD = \angle KCE $ (cùng phụ với $ \angle ACB $)

- Do đó, hai tam giác $ \triangle CHD $ và $ \triangle CKE $ đồng dạng.

- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
     $$
     \frac{CH}{CE} = \frac{CD}{CK}
     $$

- Suy ra:
     $$
     CH \times CK = CD \times CE
     $$

- Cộng hai đẳng thức:
     $$
     BH \times BD + CH \times CE = BC \times BK + CD \times CE
     $$

- Do $ BK + CK = BC $, ta có:
     $$
     BC \times BK + CD \times CE = BC^2
     $$

- Vậy:
     $$
     BH \times BD + CH \times CE = BC^2
     $$

b) Chứng minh $ BH = AC \times \cot \angle ABC $

- Xét tam giác vuông $ \triangle BHD $, ta có:
  - $ \tan \angle ABC = \frac{BD}{BH} $

- Do đó:
  $$
  BH = \frac{BD}{\tan \angle ABC}
  $$

- Mặt khác, trong tam giác $ \triangle ABC $, ta có:
  - $ \tan \angle ABC = \frac{AC}{BC} $

- Thay vào, ta có:
  $$
  BH = \frac{BD \times BC}{AC}
  $$

- Suy ra:
  $$
  BH = AC \times \cot \angle ABC
  $$

c) Chứng minh $ MP = MQ $

- Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $, do đó $ MB = MC $.

- Đường thẳng qua $ A $ vuông góc với $ AM $ cắt $ BD $ tại $ Q $ và $ CE $ tại $ P $.

- Xét tam giác $ \triangle AMP $ và $ \triangle AMQ $:
  - $ \angle AMP = \angle AMQ = 90^\circ $ (do $ AQ $ và $ AP $ vuông góc với $ AM $)

- Do đó, hai tam giác $ \triangle AMP $ và $ \triangle AMQ $ đồng dạng.

- Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ MP = MQ $.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H. a) CM và b) CM cotABC c) Gọi M là trung điểm của BC . Đườn...