Giúp mình với!

Câu 1: a) Giải bất phương trình $$: Bước 1: Chuyển $$ sang vế phải: $$ Bước 2: Chia cả hai vế cho 2: $$ Vậy nghiệm của bất phương trình là: $$ b) Giải bất phương trình $$: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): $$ $$ Bước 2: Nhân cả hai vế của bất phương trình với $$. Cần xét hai trường hợp vì dấu của $$ ảnh hưởng đến chiều của bất phương trình. Trường hợp 1: $$ (tức là $$): $$ Nhân cả hai vế với $$ (dương): $$ $$ $$ $$ Kết hợp với điều kiện $$: $$ Trường hợp 2: $$ (tức là $$): $$ Nhân cả hai vế với $$ (âm) và đổi chiều bất phương trình: $$ $$ $$ $$ Kết hợp với điều kiện $$: Không có nghiệm nào thỏa mãn đồng thời $$ và $$. Vậy nghiệm của bất phương trình là: $$ Câu 2: a) Chứng minh đẳng thức: $$ với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa. Ta có: $$ Chia cả tử và mẫu cho $$, ta được: $$ Vậy $$ (đpcm). b) Rút gọn của biểu thức $$ ( với $$. Ta có: $$ $$ $$ Vậy $$. Câu 3: Để bất phương trình $$ vô nghiệm, ta cần đảm bảo rằng biểu thức $$ luôn không âm với mọi giá trị của $$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đồ thị của hàm số $$ nằm hoàn toàn phía trên hoặc tiếp xúc với trục hoành. Điều này tương đương với việc biệt thức của phương trình bậc hai $$ phải không dương, tức là: $$ Biệt thức $$ của phương trình bậc hai $$ được tính bằng công thức: $$ Trong trường hợp này, $$, $$, và $$. Do đó: $$ $$ $$ $$ $$ Yêu cầu $$: $$ $$ Giải bất phương trình này: $$ Ta thấy rằng $$ khi và chỉ khi: $$ Đây là một bất phương trình bậc hai, và ta có thể giải nó bằng cách xét dấu của biểu thức $$. Biểu thức $$ sẽ không dương trong khoảng: $$ Do đó, bất phương trình $$ vô nghiệm khi và chỉ khi: $$ Vậy, giá trị của $$ để bất phương trình $$ vô nghiệm là: $$ Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và kiểm tra các điều kiện ràng buộc. Gọi $$ là số lít nước cam và $$ là số lít nước táo. Các ràng buộc về nguyên liệu: - Hương liệu: $$ - Nước: $$ - Đường: $$ Mục tiêu là tối đa hóa số điểm thưởng: $$ Bây giờ, chúng ta sẽ vẽ miền khả thi dựa trên các ràng buộc trên và tìm điểm tối ưu trong miền đó. 1. Ràng buộc hương liệu: $$ $$ 2. Ràng buộc nước: $$ $$ 3. Ràng buộc đường: $$ $$ $$ Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra các đỉnh của miền khả thi để tìm giá trị lớn nhất của $$. Các đỉnh của miền khả thi là giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của $$ và $$: $$ $$ $$ $$ $$ - Giao điểm của $$ và $$: $$ $$ $$ $$ $$ - Giao điểm của $$ và $$: $$ $$ $$ $$ Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của $$ tại các đỉnh này: - Tại $$: $$ - Tại $$: $$ - Tại $$: $$ Do đó, giá trị lớn nhất của $$ là 698.2, đạt được khi $$ và $$. Tuy nhiên, vì chúng ta cần số nguyên, chúng ta sẽ làm tròn $$ và $$ đến gần nhất: - $$ và $$ (vì $$ gần 5 hơn và $$ gần 5 hơn). Kiểm tra lại các ràng buộc: - Hương liệu: $$ (không thỏa mãn) - Nước: $$ (thỏa mãn) - Đường: $$ (thỏa mãn) Vậy, chúng ta chọn $$ và $$ để đảm bảo tất cả các ràng buộc đều thỏa mãn. Đáp án cuối cùng: $$ $$ Giá trị lớn nhất của $$ là 640 điểm thưởng. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm $$ và $$ Để viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $$ và $$, ta cần xác định tâm và bán kính của đường tròn. 1. Tìm tâm của đường tròn: Giả sử tâm của đường tròn là $$. Đường tròn đi qua điểm $$ và $$ nên ta có: $$ Từ đó, ta có phương trình: $$ Bình phương hai vế, ta được: $$ Giải phương trình này, ta có: $$ $$ $$ Đây là phương trình (1). 2. Tìm bán kính của đường tròn: Giả sử bán kính là $$, ta có: $$ Để tìm một phương trình cụ thể, ta cần thêm một điều kiện khác hoặc một điểm khác để xác định $$ và $$. Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, ta chỉ có thể xác định phương trình đường tròn dưới dạng tổng quát với điều kiện $$. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $$ có hệ số góc $$ 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn $$: Phương trình đường tròn có dạng: $$ Ta đưa về dạng chuẩn: $$ Từ đó, ta xác định được tâm $$ và bán kính $$. 2. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến có dạng: $$ Với $$, phương trình trở thành: $$ Khoảng cách từ tâm $$ đến đường thẳng này bằng bán kính $$: $$ $$ $$ $$ $$ Từ đó, ta có hai trường hợp: - $$ - $$ Giải hai phương trình này, ta tìm được: - $$ - $$ Vậy phương trình tiếp tuyến là: - $$ - $$ Đây là các phương trình tiếp tuyến của đường tròn $$ với hệ số góc $$.