nhanh ạ giúp em với

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c, d theo thứ tự. a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác ABC Cho tam giác \( ABC \) với \( \widehat{ABC} = 120^\circ \), \( AC = 5 \), và bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \). Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Với \( S \) là diện tích tam giác, và \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của tam giác. Tuy nhiên, trước tiên, ta có thể sử dụng định lý cos để tìm các cạnh còn lại. Áp dụng định lý cos cho tam giác \( ABC \): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120^\circ) \] Vì \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), ta có: \[ BC^2 = AB^2 + 25 + AB \cdot 5 \] Ta cũng biết rằng: \[ R = \frac{a}{2\sin A} \] Với \( a = BC \), \( A = \widehat{BAC} \), và \( \sin A = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Do đó: \[ \frac{BC}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \] \[ BC = 7 \] Sử dụng lại định lý cos: \[ 49 = AB^2 + 25 + AB \cdot 5 \] \[ AB^2 + 5AB - 24 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ AB = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2} \] Vậy \( AB = 3 \) (vì độ dài cạnh không thể âm). b) Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Với \( p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{3 + 7 + 5}{2} = 7.5 \). Do đó: \[ S = \sqrt{7.5(7.5-3)(7.5-7)(7.5-5)} \] \[ S = \sqrt{7.5 \times 4.5 \times 0.5 \times 2.5} \] \[ S = \sqrt{84.375} \] \[ S = 9.19 \] c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) được tính bằng: \[ r = \frac{S}{p} \] Với \( S = 9.19 \) và \( p = 7.5 \): \[ r = \frac{9.19}{7.5} \approx 1.225 \] d) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho \( BK = 2KA \). Tính độ dài cạnh CK. Gọi \( AK = x \), thì \( BK = 2x \) và \( AB = 3 \). Ta có: \[ x + 2x = 3 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Vậy \( AK = 1 \) và \( BK = 2 \). Sử dụng định lý cos trong tam giác \( ACK \): \[ CK^2 = AC^2 + AK^2 - 2 \cdot AC \cdot AK \cdot \cos(\widehat{CAK}) \] Với \( \widehat{CAK} = 60^\circ \) (vì \( \widehat{ABC} = 120^\circ \) và \( \widehat{BAC} = 60^\circ \)). \[ CK^2 = 5^2 + 1^2 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \] \[ CK^2 = 25 + 1 - 5 \] \[ CK^2 = 21 \] \[ CK = \sqrt{21} \] Vậy độ dài cạnh \( CK \) là \( \sqrt{21} \).