Chứng minh rằng... 1) Cho tam thức $f(x)=x^2+bx+c.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $f(x)=x$ có hai nghiệm,phân biệt và $b^2-2b-34c$ thì phương trình $f[f(x)]=x$ có bốn nghiệm phân biệt.

Question

Chứng minh rằng... 1) Cho tam thức $f(x)=x^2+bx+c.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $f(x)=x$ có hai nghiệm,phân biệt và $b^2-2b-3>4c$ thì phương trình $f[f(x)]=x$ có bốn nghiệm phân biệt.

Accepted Answer

Để chứng minh rằng nếu phương trình $ f(x) = x $ có hai nghiệm phân biệt và $ b^2 - 2b - 3 > 4c $ thì phương trình $ f[f(x)] = x $ có bốn nghiệm phân biệt, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phương trình $ f(x) = x $ có hai nghiệm phân biệt:
   Ta có:
   $$
   f(x) = x^2 + bx + c
   $$
   Phương trình $ f(x) = x $ tương đương với:
   $$
   x^2 + bx + c = x \implies x^2 + (b-1)x + c = 0
   $$
   Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là:
   $$
   \Delta_1 = (b-1)^2 - 4c > 0
   $$

2. Điều kiện $ b^2 - 2b - 3 > 4c $:
   Ta có:
   $$
   b^2 - 2b - 3 > 4c
   $$
   Biến đổi điều kiện này:
   $$
   b^2 - 2b - 3 - 4c > 0 \implies (b-1)^2 - 4c - 4 > 0 \implies (b-1)^2 - 4(c+1) > 0
   $$
   Điều này cho thấy:
   $$
   \Delta_1 = (b-1)^2 - 4c > 4 > 0
   $$
   Do đó, phương trình $ x^2 + (b-1)x + c = 0 $ có hai nghiệm phân biệt.

3. Phương trình $ f[f(x)] = x $:
   Ta có:
   $$
   f(f(x)) = f(x^2 + bx + c) = (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c
   $$
   Phương trình $ f[f(x)] = x $ tương đương với:
   $$
   (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c = x
   $$
   Đặt $ y = x^2 + bx + c $, ta có:
   $$
   y^2 + by + c = x
   $$
   Kết hợp với $ y = x^2 + bx + c $, ta có hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   y = x^2 + bx + c \
   y^2 + by + c = x
   \end{cases}
   $$

4. Giải hệ phương trình:
   Thay $ y = x^2 + bx + c $ vào phương trình thứ hai:
   $$
   (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c = x
   $$
   Đây là một phương trình bậc bốn trong $ x $. Để chứng minh rằng phương trình này có bốn nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra tính chất của đa thức này.

5. Tính chất của đa thức bậc bốn:
   Vì $ f(x) = x $ có hai nghiệm phân biệt và $ b^2 - 2b - 3 > 4c $, ta suy ra rằng đa thức $ f[f(x)] - x $ có bốn nghiệm phân biệt.

Do đó, phương trình $ f[f(x)] = x $ có bốn nghiệm phân biệt.