Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA không nằm trong mặt đáy và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = AD = a, góc giữa AB và AD bằng 60 độ, SA = a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần theo yêu cầu. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Thể tích của khối chóp \( S.ABCD \) được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), nên \( SA \) chính là chiều cao của khối chóp. Do đó, chiều cao \( h = SA = a \). Đáy \( ABCD \) là hình bình hành với \( AB = AD = a \) và góc giữa \( AB \) và \( AD \) là \( 60^\circ \). Diện tích của hình bình hành \( ABCD \) là: \[ \text{Diện tích} = AB \times AD \times \sin 60^\circ = a \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] Vậy thể tích khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \times a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \] b) Tính độ dài đường cao kẻ từ S đến mặt đáy Như đã phân tích ở phần a), \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), do đó \( SA \) chính là đường cao từ \( S \) đến mặt đáy. Vậy độ dài đường cao là \( a \). c) Tìm góc giữa mặt bên (SAB) và đáy Góc giữa mặt phẳng \( (SAB) \) và mặt phẳng đáy \( (ABCD) \) chính là góc giữa đường thẳng \( SA \) và đường thẳng \( AB \) (vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy). Do \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), góc giữa \( SA \) và \( AB \) là \( 90^\circ \). d) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (SAD), sau đó tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (SAD): Ta có \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), do đó \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \), đặc biệt là vuông góc với \( AC \). Trong tam giác \( \triangle SAC \), \( SA \) vuông góc với \( AC \), do đó \( SC \) là đường cao của tam giác \( \triangle SAC \). Vì \( SC \) là đường cao của tam giác \( \triangle SAC \) và \( SA \) vuông góc với \( AD \) (vì \( AD \) nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \)), nên \( SC \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAD) \). Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD): Khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SAD) \) chính là độ dài đoạn thẳng \( SC \). Trong tam giác \( \triangle SAC \), \( SA = a \) và \( AC = a \) (vì \( ABCD \) là hình bình hành và \( AB = AD = a \)). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle SAC \): \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SAD) \) là \( a\sqrt{2} \).