Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 4, BC = 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 6. a) Tính thể tích khối chóp. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ G đ...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC: Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức: $$ Đáy ABC là tam giác vuông tại B, do đó diện tích của tam giác ABC là: $$ Chiều cao của khối chóp là SA = 6. Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: $$ b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC): G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó tọa độ của G là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, B, C. Tuy nhiên, để tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC), ta cần xác định phương trình mặt phẳng (SBC). Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên mặt phẳng (SBC) có thể được coi là mặt phẳng đứng qua BC và S. Do đó, khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) chính là khoảng cách từ G đến đường thẳng BC trong mặt phẳng đáy. Gọi D là trung điểm của AC, ta có: $$ G là trọng tâm tam giác ABC, nên: $$ Khoảng cách từ G đến BC (đường thẳng BC có phương trình y = 0) là: $$ c) Tính góc giữa đường SC và mặt đáy: Để tính góc giữa đường SC và mặt đáy, ta cần tính độ dài SC và sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông SAC. Trong tam giác vuông SAC, ta có: $$ Góc giữa SC và mặt đáy là góc giữa SC và AC, do đó: $$ d) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với (SBC): Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh rằng một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng kia. Trong mặt phẳng (SAC), đường SA vuông góc với mặt phẳng đáy, do đó SA vuông góc với BC (trong mặt phẳng đáy). Trong mặt phẳng (SBC), đường SB cũng vuông góc với mặt phẳng đáy, do đó SB vuông góc với AC (trong mặt phẳng đáy). Vì SA vuông góc với BC và SB vuông góc với AC, nên hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) vuông góc với nhau. Vậy, chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.