rút gọn biểu thức: A=$ \sqrt{14+6\sqrt{5}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}} $

Để rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét biểu thức dưới dấu căn \( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \). Giả sử \( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \) với \( a \) và \( b \) là các số dương. Ta có: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \] So sánh với \( 14 + 6\sqrt{5} \): \[ a + b = 14 \] \[ 2\sqrt{ab} = 6\sqrt{5} \] Từ \( 2\sqrt{ab} = 6\sqrt{5} \), ta suy ra: \[ \sqrt{ab} = 3\sqrt{5} \] \[ ab = 45 \] Giải hệ phương trình: \[ a + b = 14 \] \[ ab = 45 \] Ta tìm được \( a = 9 \) và \( b = 5 \) hoặc ngược lại. Do đó: \[ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{9} + \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5} \] Bước 2: Xét biểu thức dưới dấu căn \( \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \). Giả sử \( \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{c} - \sqrt{d} \) với \( c \) và \( d \) là các số dương. Ta có: \[ (\sqrt{c} - \sqrt{d})^2 = c + d - 2\sqrt{cd} \] So sánh với \( 8 - 2\sqrt{15} \): \[ c + d = 8 \] \[ 2\sqrt{cd} = 2\sqrt{15} \] Từ \( 2\sqrt{cd} = 2\sqrt{15} \), ta suy ra: \[ \sqrt{cd} = \sqrt{15} \] \[ cd = 15 \] Giải hệ phương trình: \[ c + d = 8 \] \[ cd = 15 \] Ta tìm được \( c = 5 \) và \( d = 3 \) hoặc ngược lại. Do đó: \[ \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \] \[ A = (3 + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \] \[ A = 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{3} \] \[ A = 3 + \sqrt{3} \] Vậy, giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = 3 + \sqrt{3} \]