Giúp mình với!

Câu 1: Đặt $$. Ta có $$. Phương trình đã cho trở thành: $$ Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: $$ với $$, $$, và $$. Tính biệt thức $$: $$ Do đó, nghiệm của phương trình là: $$ Ta có hai nghiệm: $$ $$ Vì $$ và $$, nên ta loại bỏ nghiệm $$. Do đó, ta có: $$ Giải phương trình lượng giác: $$ Chia cả hai vế cho 2: $$ Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Câu 2: Điều kiện xác định: - $$ - $$ Phương trình đã cho: $$ Biến đổi vế trái: $$ Do đó, phương trình trở thành: $$ Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: $$ Biến đổi vế trái: $$ $$ $$ Biến đổi vế phải: $$ Do đó, phương trình trở thành: $$ Rút gọn và sắp xếp lại: $$ Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $$ Gộp các hạng tử tương tự: $$ Phân tích đa thức: $$ Từ đây suy ra: $$ Kiểm tra điều kiện xác định: - Nếu $$, thì $$ (không thỏa mãn điều kiện xác định). - Nếu $$, thì $$ (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Câu 3: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $$, ta cần tìm tọa độ điểm tiếp xúc và hệ số góc của tiếp tuyến. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $$ $$ Bước 2: Tìm hệ số góc của đường thẳng $$ Phương trình đường thẳng $$ có thể viết lại dưới dạng $$. Hệ số góc của đường thẳng $$ là $$. Bước 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $$, nên hệ số góc của tiếp tuyến sẽ là $$ (vì tích của hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc bằng $$). Bước 4: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc Ta có $$, suy ra: $$ $$ $$ $$ $$ Bước 5: Tìm tọa độ y tương ứng với x Khi $$: $$ Khi $$: $$ Bước 6: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến tại điểm $$ có hệ số góc $$ là: $$ $$ $$ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $$ có hệ số góc $$ là: $$ $$ $$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $$ là: $$ $$ Câu 4: Để tính giới hạn $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Kiểm tra dạng của giới hạn: Thay $$ vào tử số và mẫu số: $$ $$ Ta thấy rằng giới hạn có dạng $$. 2. Phân tích đa thức ở tử số và mẫu số: Ta sẽ phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để đơn giản hóa biểu thức. - Phân tích tử số $$: Ta thử chia đa thức này cho $$: $$ - Phân tích mẫu số $$: Ta cũng thử chia đa thức này cho $$: $$ 3. Đơn giản hóa biểu thức: Sau khi phân tích, ta có: $$ Ta có thể rút gọn $$ từ tử số và mẫu số: $$ 4. Tính giới hạn: Bây giờ, ta thay $$ vào biểu thức đã rút gọn: $$ Ta tiếp tục phân tích tử số $$ cho $$: $$ Vậy: $$ Thay $$ vào biểu thức cuối cùng: $$ Vậy, giá trị của giới hạn là: $$ Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của $$ từ phương trình $$. 2. Tìm hệ số của số hạng chứa $$ trong khai triển nhị thức Newton của $$. Bước 1: Xác định giá trị của $$ Trước tiên, ta cần lưu ý rằng $$ là hằng số vô tỉ khoảng bằng 3.14, nhưng trong bài toán này, $$ có thể được hiểu là một số nguyên gần đúng. Tuy nhiên, vì $$, nên $$. Vì $$ là số nguyên dương, ta giả sử $$. Do đó, phương trình trở thành: $$ Ta biết rằng: $$ Thay vào phương trình: $$ Rút gọn: $$ Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: $$ $$ Chia cả hai vế cho $$ (vì $$ và $$): $$ $$ Bước 2: Tìm hệ số của số hạng chứa $$ Khai triển nhị thức Newton của $$: $$ Số hạng chứa $$ sẽ có dạng: $$ Để số hạng này chứa $$, ta cần: $$ $$ Tuy nhiên, $$ phải là số nguyên không âm, do đó không có số hạng nào chứa $$ trong khai triển này. Vậy, hệ số của số hạng chứa $$ là 0. Câu 6: Điều kiện xác định: $$ $$ Từ phương trình đầu tiên, ta có: $$ Do đó: $$ Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: $$ Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $$ $$ $$ Nhận cả hai giá trị này vì chúng đều thỏa mãn điều kiện $$. Trường hợp 2: $$ Ta có: $$ $$ $$ Suy ra: $$ $$ Do đó: $$ Mâu thuẫn với phương trình đầu tiên. Vậy không có nghiệm nào trong trường hợp này. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $$ Câu 7: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm A, B, C: - Tam giác ABC vuông cân tại A, nên tọa độ A có dạng $$. - Gọi $$ và $$ là tọa độ của B và C. Vì tam giác vuông cân tại A, nên $$ và $$ với $$ là một số dương. 2. Tìm tọa độ điểm M: - M là trung điểm của BC, nên tọa độ của M là: $$ 3. Tìm tọa độ điểm G: - G là trọng tâm của tam giác ABM, nên tọa độ của G là: $$ 4. Sử dụng phương trình đường thẳng AG: - Phương trình AG là $$. - Thay tọa độ của G vào phương trình này: $$ $$ $$ $$ $$ 5. Tìm tọa độ điểm D: - D nằm trên đoạn MC và $$. - Tọa độ D là $$. 6. Tìm phương trình đường thẳng AB: - Đường thẳng AB có dạng $$ vì tam giác vuông cân tại A. - Thay tọa độ A vào phương trình: $$ - Vậy phương trình đường thẳng AB là $$. 7. Xác định tọa độ A: - Từ phương trình $$ và $$, ta có: $$ $$ - Vì hoành độ của A nhỏ hơn 4, nên $$. 8. Kết luận: - Phương trình đường thẳng AB là $$. - Tọa độ A thỏa mãn $$ và $$. Vậy phương trình đường thẳng AB là $$. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và tính độ dài đoạn thẳng SD. Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD): 1. Xác định các yếu tố trong hình chóp: - Đáy ABCD là hình thang cân với $$, $$, $$. - Tam giác SBC là tam giác đều. - SD vuông góc với AC. 2. Chứng minh (SBC) vuông góc với (ABCD): - Do SD vuông góc với AC và AC nằm trong mặt phẳng (ABCD), nên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Trong mặt phẳng (SBC), đường thẳng SC cũng vuông góc với AC (vì tam giác SBC đều và AC là đường cao từ S xuống BC). - Do đó, mặt phẳng (SBC) chứa hai đường thẳng SD và SC đều vuông góc với AC, nên (SBC) vuông góc với (ABCD). Tính độ dài đoạn thẳng SD: 3. Tính độ dài AC: - Do ABCD là hình thang cân, ta có $$. 4. Tính độ dài SD: - Vì tam giác SBC đều và cạnh BC = 2a, nên cạnh SC = 2a. - Do SD vuông góc với AC, ta có tam giác SDC vuông tại D. - Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác SDC: $$ b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $$ và tìm $$ để diện tích thiết diện lớn nhất. Xác định thiết diện: 1. Mặt phẳng $$ đi qua M thuộc OD và song song với SD và AC: - Gọi $$ là điểm trên đoạn $$ với $$. - Mặt phẳng $$ song song với SD và AC, do đó thiết diện là một hình thang hoặc hình bình hành. 2. Xác định giao điểm của $$ với các cạnh của hình chóp: - Do $$ song song với SD, AC, nên thiết diện sẽ cắt các cạnh của hình chóp tại các điểm tạo thành một hình thang hoặc hình bình hành. 3. Tính diện tích thiết diện: - Diện tích thiết diện phụ thuộc vào vị trí của $$ trên $$. - Để diện tích lớn nhất, $$ phải nằm ở vị trí sao cho thiết diện là hình bình hành có diện tích lớn nhất. Tìm $$ để diện tích thiết diện lớn nhất: 4. Tính toán cụ thể: - Do $$ song song với AC và SD, thiết diện sẽ là hình bình hành khi $$ chia $$ theo tỷ lệ thích hợp. - Để diện tích lớn nhất, $$ phải là trung điểm của $$, tức là $$. 5. Kết luận: - Giá trị $$ để diện tích thiết diện lớn nhất là $$. Với các bước trên, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách chi tiết và đầy đủ. Câu 9: Ta có: $$ $$ Suy ra: $$ Do đó: $$ $$ Vậy $$