Giúp mình với!

Bài 1: Phần a: $$ Trước tiên, ta đơn giản hóa vế phải: $$ Do đó, phương trình trở thành: $$ Tiếp theo, ta sử dụng công thức cộng góc để đơn giản hóa $$: $$ Thay vào phương trình, ta có: $$ $$ Sử dụng công thức $$, ta có: $$ $$ Chia cả hai vế cho 2: $$ Nhận thấy rằng $$, ta thay vào: $$ $$ $$ Chuyển $$ sang vế phải: $$ $$ $$ $$ Chia cả hai vế cho $$ (với $$): $$ $$ Do đó: $$ $$ Kiểm tra trường hợp $$: $$ Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Phần b: $$ Đặt $$, suy ra $$ và $$. Thay vào phương trình: $$ $$ $$ Khai triển và đơn giản hóa: $$ $$ $$ Thử nghiệm $$: $$ Thử nghiệm $$: $$ Thử nghiệm $$: $$ Vậy không có nghiệm thực nào khác ngoài $$. Do đó, $$. Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Bài 2: Câu a: - Tập hợp S có 7^5 số tự nhiên gồm 5 chữ số được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. - Số các số tự nhiên có 5 chữ số có mặt đúng 3 chữ số khác nhau: - Chọn 3 chữ số khác nhau từ 7 chữ số: C(7,3) - Chọn vị trí cho 3 chữ số này trong 5 vị trí: C(5,3) - Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đã chọn: 3^2 - Tổng số các số tự nhiên có 5 chữ số có mặt đúng 3 chữ số khác nhau: C(7,3) C(5,3) 3^2 - Xác suất để số được chọn có mặt đúng ba chữ số khác nhau: - P = (C(7,3) C(5,3) 3^2) / 7^5 Câu b: - Xét hàm số g(x) = f(x) + [f(1) - f(0)]x - f(1) - Ta có g(0) = f(0) - f(1) và g(1) = f(1) - f(0) - Do đó, g(0) và g(1) trái dấu nhau. - Vì hàm số g(x) liên tục trên [0;1], nên theo định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một số c thuộc [0;1] sao cho g(c) = 0. - Vậy phương trình f(x) + [f(1) - f(0)]x = f(1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;1]. Bài 3: Ta có: $$ Đặt $$, ta có $$ và $$ Xét dãy số $$ với $$ và $$ Ta có $$ $$ $$ $$ Nhận thấy rằng $$ Do đó ta dự đoán $$ Thật vậy, dễ dàng kiểm tra rằng đẳng thức trên đúng với $$ Giả sử đẳng thức trên đúng với $$ tức là $$ Ta chứng minh rằng nó cũng đúng với $$ Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta suy ra $$ Do đó $$ Suy ra $$ Như vậy, đẳng thức đã được chứng minh. Từ đó ta có $$ hay $$ Vậy $$ Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Chứng minh đường thẳng $$ vuông góc với mặt phẳng $$. 1. Xác định các yếu tố hình học: - Đáy $$ là hình chữ nhật với $$ và $$. - $$ là giao điểm của $$ và $$. - $$ vuông góc với mặt phẳng $$ và $$. - $$ là trung điểm của $$. 2. Chứng minh $$ vuông góc với mặt phẳng $$: - Vì $$ vuông góc với mặt phẳng $$, nên $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $$, đặc biệt là $$ và $$. - $$ là trung điểm của $$, do đó $$ là đường trung tuyến của tam giác $$. - Trong tam giác vuông $$ (vì $$ vuông góc với $$), $$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $$, do đó $$ cũng vuông góc với $$. - Vì $$ vuông góc với $$ và $$ vuông góc với $$, nên $$ vuông góc với mặt phẳng $$. b. Tính $$, với $$ là góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$. 1. Xác định góc $$: - Góc $$ là góc giữa đường thẳng $$ và hình chiếu của nó trên mặt phẳng $$. - Hình chiếu của $$ trên mặt phẳng $$ là $$ vì $$ nằm trong mặt phẳng $$ và $$ song song với $$. 2. Tính $$: - Ta có tam giác $$ vuông tại $$ (vì $$ vuông góc với mặt phẳng $$). - Trong tam giác vuông $$, $$. - Tính $$: $$ - $$. - $$. - Do đó, $$. - Tính $$: $$ Vậy, $$. Bài 5: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ điểm A Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có: - Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AC. Đường phân giác trong góc A có phương trình $$. Giả sử tọa độ điểm A là $$. Vì A nằm trên đường phân giác, ta có: $$ Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng AC Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng AB. Phương trình đường thẳng AB có thể được viết dưới dạng: $$ Đường thẳng AC có hệ số góc là nghịch đảo đối của hệ số góc đường thẳng AB. Do đó, phương trình đường thẳng AC có dạng: $$ Bước 3: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC được cho là 24. Công thức tính diện tích tam giác vuông tại A là: $$ Từ đó, ta có: $$ Bước 4: Tìm tọa độ điểm A Sử dụng điều kiện diện tích và phương trình đường phân giác, ta có thể tìm tọa độ điểm A. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể thử một số giá trị của $$ và kiểm tra điều kiện diện tích. Bước 5: Viết phương trình đường tròn nội tiếp Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác. Tọa độ tâm I có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình từ các đường phân giác. Bước 6: Kết luận Sau khi tìm được tọa độ điểm A và tâm I, ta có thể viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tuy nhiên, do bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn nội tiếp, ta cần xác định bán kính đường tròn nội tiếp bằng cách sử dụng công thức: $$ trong đó $$ là nửa chu vi tam giác. Với các bước trên, ta có thể tìm ra phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tuy nhiên, do bài toán phức tạp và cần nhiều bước tính toán chi tiết, việc giải chi tiết từng bước có thể cần thêm thời gian và kiểm tra lại các phép tính. Bài 6: Câu a: Ta có: $$ Mặt khác, ta có: $$ Do đó: $$ $$ Suy ra: $$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $$. Thay vào điều kiện $$ ta được $$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $$ là: $$ Câu b: Xét trường hợp $$: $$ Thử các giá trị $$, ta thấy chỉ có $$ thỏa mãn: $$ Vậy $$ và $$. Xét trường hợp $$: $$ Thử các giá trị $$, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn. Vậy các bộ $$ thỏa mãn là: $$