Tính min S. Câu 4. Xét các số nguyên dương a; b sao cho phương trình $a\ln^2x+b\ln x+5=0$ có hai nghiệm,phân biệt $x_1,x_2$ và phương trình $5\log^2x+b\log x+a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3,x_4$,thỏa mãn $x_1x_2x_3x_4.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a^2+3b.$

Question

Tính min S. Câu 4. Xét các số nguyên dương a; b sao cho phương trình $a\ln^2x+b\ln x+5=0$ có hai nghiệm,phân biệt $x_1,x_2$ và phương trình $5\log^2x+b\log x+a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3,x_4$,thỏa mãn $x_1x_2>x_3x_4.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a^2+3b.$

Accepted Answer

Xét phương trình $a \ln^2 x + b \ln x + 5 = 0$ (1)

Đặt $t = \ln x$. Phương trình trở thành: $at^2 + bt + 5 = 0$.

Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta_1 = b^2 - 20a > 0$.

Theo định lý Vi-ét: $\ln x_1 + \ln x_2 = \ln(x_1x_2) = -\frac{b}{a}$.

$\implies x_1x_2 = e^{-b/a}$.

Xét phương trình $5 \log^2 x + b \log x + a = 0$ (2)

Đặt $u = \log x$. Phương trình trở thành: $5u^2 + bu + a = 0$.

Điều kiện để (2) có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta_2 = b^2 - 20a > 0$.

Theo định lý Vi-ét: $\log x_3 + \log x_4 = \log(x_3x_4) = -\frac{b}{5}$.

$\implies x_3x_4 = 10^{-b/5}$.

$e^{-b/a} > 10^{-b/5}$

$\ln(e^{-b/a}) > \ln(10^{-b/5})$

$-\frac{b}{a} > -\frac{b}{5}\ln(10)$

Vì $b > 0$, ta có: $\frac{1}{a} < \frac{\ln(10)}{5} \implies a > \frac{5}{\ln(10)} \approx 2.17$.

Do $a$ là số nguyên dương, suy ra $a \ge 3$. Để $S$ nhỏ nhất chọn $a$ nhỏ nhất là $a=3$.

Với $a=3$, điều kiện $b^2 - 20a > 0$ trở thành $b^2 - 60 > 0 \implies b^2 > 60$.

Vì $b$ là số nguyên dương, suy ra $b \ge \lceil\sqrt{60}\rceil = 8$.

Để $S = a^2 + 3b$ nhỏ nhất, ta chọn $b$ nhỏ nhất là $b=8$.

Giá trị nhỏ nhất của $S$ là: $S_{min} = 3^2 + 3 \cdot 8 = 9 + 24 = 33$.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là 33.