cuus vơi ssosososos Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát để),Bài 1. (1,25 điểm),Một cơ quan quản lý đã thống kê được số lượt khách đến tham quan di tích A từ,tháng 1 đến hết tháng 9 năm 2024 như sau:, Tháng,1; 2; 3,4; 5; 6,7; 8; 9 Số lượt khách,212,284,352 ,a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E: "Khách đến tham quan di tích trong 6,tháng (từ tháng 4 đến hết tháng 9)".,b) Giả sử từ tháng 1 đến hết tháng 9 di tích A có 2024 lượt khách đến tham quan,di tích. Hãy dự đoán xem: Từ tháng 1 đến hết tháng 3 có khoảng bao nhiêu khách đến,tham quan di tích?,Bài 2. (2,0 điểm),Cho các biểu thức: $A=\frac{x+2}{x-5},~x e5$ và $B=\frac1{x+4}+\frac x{x-4}+\frac{24-x^2}{x^2-16},~x e\pm4$,a) Tính giá trị của biểu thức A với $x=6.$,b) Rút gọn biểu thức B,c) Tìm giá trị nguyên của biến x để giá trị của biểu thức B là số nguyên.,Bài 3. (2,5 điểm),a) Giải hệ phương trình:,$\left\{\begin{array}{l}2x-3y=-2\3x+y=8\end{array} ight.$,b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:,Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc xe I là 45km/h. Vận,tốc xe II ít hơn vận tốc xe I là 9km/ nên xe II đến B chậm hơn xe I là 40 phút. Tính,quãng đường AB.,Bài 4. (3,75 điểm),,4.1. Một cái lều ở trại hè của học sinh có dạng hình chóp tứ giác,đều với chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều,là 2,8m và cạnh đáy bằng 2m. Tính diện tích vải bạt cần thiết,để vừa đủ dựng lều (kín toàn bộ các mặt xung quanh lều, không,tính đến đường viền, nếp gấp), biết rằng lều này không có đáy.,4.2. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB=6~cm;AC=8~cm;$ đường cao AH.,a) Tính BC, AH và Tỉ số lượng giác của góc B và góc C,b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính MN.,c) Chứng minh $AM.AB=AN.AC.$,Bài 5. (0,5 điểm),Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình $x^2+xy-2y-x-5=0$

Question

cuus vơi ssosososos Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát để),Bài 1. (1,25 điểm),Một cơ quan quản lý đã thống kê được số lượt khách đến tham quan di tích A từ,tháng 1 đến hết tháng 9 năm 2024 như sau:,

Tháng,1; 2; 3,4; 5; 6,7; 8; 9
Số lượt khách,212,284,352

,a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E: "Khách đến tham quan di tích trong 6,tháng (từ tháng 4 đến hết tháng 9)".,b) Giả sử từ tháng 1 đến hết tháng 9 di tích A có 2024 lượt khách đến tham quan,di tích. Hãy dự đoán xem: Từ tháng 1 đến hết tháng 3 có khoảng bao nhiêu khách đến,tham quan di tích?,Bài 2. (2,0 điểm),Cho các biểu thức: $A=\frac{x+2}{x-5},~x
e5$ và $B=\frac1{x+4}+\frac x{x-4}+\frac{24-x^2}{x^2-16},~x
e\pm4$,a) Tính giá trị của biểu thức A với $x=6.$,b) Rút gọn biểu thức B,c) Tìm giá trị nguyên của biến x để giá trị của biểu thức B là số nguyên.,Bài 3. (2,5 điểm),a) Giải hệ phương trình:,$\left\{\begin{array}{l}2x-3y=-2\3x+y=8\end{array}ight.$,b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:,Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc xe I là 45km/h. Vận,tốc xe II ít hơn vận tốc xe I là 9km/ nên xe II đến B chậm hơn xe I là 40 phút. Tính,quãng đường AB.,Bài 4. (3,75 điểm),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/8309e1b5fa664eaf8ce2e038d596d623.jpg />,4.1. Một cái lều ở trại hè của học sinh có dạng hình chóp tứ giác,đều với chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều,là 2,8m và cạnh đáy bằng 2m. Tính diện tích vải bạt cần thiết,để vừa đủ dựng lều (kín toàn bộ các mặt xung quanh lều, không,tính đến đường viền, nếp gấp), biết rằng lều này không có đáy.,4.2. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB=6~cm;AC=8~cm;$ đường cao AH.,a) Tính BC, AH và Tỉ số lượng giác của góc B và góc C,b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính MN.,c) Chứng minh $AM.AB=AN.AC.$,Bài 5. (0,5 điểm),Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình $x^2+xy-2y-x-5=0$

Accepted Answer

Bài 1:
a) Xác suất thực nghiệm của biến cố E là tỉ số giữa số lượt khách đến tham quan di tích trong 6 tháng (từ tháng 4 đến hết tháng 9) và tổng số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 9.

Tổng số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 9 là:
212 + 284 + 352 = 848 (lượt khách)

Số lượt khách đến tham quan di tích trong 6 tháng (từ tháng 4 đến hết tháng 9) là:
352 (lượt khách)

Xác suất thực nghiệm của biến cố E là:
$\frac{352}{848} = \frac{44}{106} = \frac{22}{53}$

b) Giả sử từ tháng 1 đến hết tháng 9 di tích A có 2024 lượt khách đến tham quan di tích. Ta sẽ dự đoán số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 3.

Ta biết rằng từ tháng 4 đến hết tháng 9 chiếm $\frac{22}{53}$ tổng số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 9. Vậy từ tháng 1 đến hết tháng 3 chiếm $1 - \frac{22}{53} = \frac{31}{53}$ tổng số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 9.

Dự đoán số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 3 là:
$2024 \times \frac{31}{53} = 1184$ (lượt khách)

Đáp số: 
a) Xác suất thực nghiệm của biến cố E: $\frac{22}{53}$
b) Dự đoán số lượt khách đến tham quan di tích từ tháng 1 đến hết tháng 3: 1184 lượt khách

Bài 2:
a) Với $ x = 6 $, ta thay giá trị này vào biểu thức $ A $:

$$ 
A = \frac{x + 2}{x - 5}
$$

Thay $ x = 6 $:

$$ 
A = \frac{6 + 2}{6 - 5} = \frac{8}{1} = 8
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 6 $ là 8.

b) Ta rút gọn biểu thức $ B $:

$$ 
B = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}
$$

Nhận thấy rằng $ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $, ta viết lại biểu thức $ B $:

$$ 
B = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)}
$$

Quy đồng mẫu số chung của các phân số:

$$ 
B = \frac{(x - 4) + x(x + 4) + (24 - x^2)}{(x - 4)(x + 4)}
$$

Rút gọn tử số:

$$ 
B = \frac{x - 4 + x^2 + 4x + 24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{5x + 20}{(x - 4)(x + 4)}
$$

Ta có thể rút gọn tiếp:

$$ 
B = \frac{5(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{5}{x - 4}
$$

Vậy biểu thức $ B $ đã được rút gọn thành $ \frac{5}{x - 4} $.

c) Để giá trị của biểu thức $ B $ là số nguyên, ta cần $ \frac{5}{x - 4} $ là số nguyên. Điều này xảy ra khi $ x - 4 $ là ước của 5.

Các ước của 5 là: $ \pm 1, \pm 5 $.

Do đó, $ x - 4 $ có thể nhận các giá trị: $ 1, -1, 5, -5 $.

Từ đây, ta tìm được các giá trị của $ x $:

$$ 
x - 4 = 1 \implies x = 5 \
x - 4 = -1 \implies x = 3 \
x - 4 = 5 \implies x = 9 \
x - 4 = -5 \implies x = -1
$$

Vậy các giá trị nguyên của $ x $ để giá trị của biểu thức $ B $ là số nguyên là: $ x = 5, 3, 9, -1 $.

Bài 3:
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=-2\3x+y=8\end{array}\right.$

Từ phương trình thứ hai, ta có $y = 8 - 3x$. Thay vào phương trình đầu tiên, ta được:
$$2x - 3(8 - 3x) = -2$$
$$2x - 24 + 9x = -2$$
$$11x = 22$$
$$x = 2$$

Thay $x = 2$ vào $y = 8 - 3x$, ta được:
$$y = 8 - 3(2)$$
$$y = 8 - 6$$
$$y = 2$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 2)$.

b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc xe I là 45km/h. Vận tốc xe II ít hơn vận tốc xe I là 9km/ nên xe II đến B chậm hơn xe I là 40 phút. Tính quãng đường AB.

Gọi quãng đường AB là $s$ (km).

Vận tốc xe II là $45 - 9 = 36$ km/h.

Thời gian xe I đi từ A đến B là $\frac{s}{45}$ giờ.

Thời gian xe II đi từ A đến B là $\frac{s}{36}$ giờ.

Theo đề bài, xe II đến B chậm hơn xe I là 40 phút, tức là $\frac{2}{3}$ giờ. Ta có phương trình:
$$\frac{s}{36} - \frac{s}{45} = \frac{2}{3}$$

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
$$\frac{5s}{180} - \frac{4s}{180} = \frac{2}{3}$$
$$\frac{s}{180} = \frac{2}{3}$$
$$s = \frac{2}{3} \times 180$$
$$s = 120$$

Vậy quãng đường AB là 120 km.

Bài 4:
4.1. Tính diện tích vải bạt cần thiết để dựng lều

Cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao mặt bên là 2,8m và cạnh đáy là 2m.

1. Tính diện tích một mặt bên:

Mặt bên của lều là tam giác cân với đáy là 2m và chiều cao là 2,8m.

Diện tích của một mặt bên:
   $$
   S_{\text{mặt bên}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2,8 = 2,8 \, \text{m}^2
   $$

2. Tính diện tích toàn bộ các mặt bên:

Lều có 4 mặt bên, do đó diện tích toàn bộ các mặt bên là:
   $$
   S_{\text{toàn bộ}} = 4 \times 2,8 = 11,2 \, \text{m}^2
   $$

Vậy, diện tích vải bạt cần thiết để dựng lều là $11,2 \, \text{m}^2$.

4.2. Bài toán về tam giác vuông

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 6 \, \text{cm}$, $AC = 8 \, \text{cm}$.

a) Tính $BC$, $AH$ và tỉ số lượng giác của góc $B$ và góc $C$

1. Tính $BC$ (sử dụng định lý Pythagore):

$$
   BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
   $$

2. Tính $AH$ (sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông):

$$
   AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = 4,8 \, \text{cm}
   $$

3. Tỉ số lượng giác:

- $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0,8$
   - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6$
   - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

- $\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6$
   - $\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0,8$
   - $\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

b) Tứ giác $AMNH$ là hình gì? Tính $MN$

1. Tứ giác $AMNH$ là hình chữ nhật:

Vì $M$ và $N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $AC$, nên $AM \perp MN$ và $AN \perp MN$. Do đó, $AMNH$ là hình chữ nhật.

2. Tính $MN$:

Trong hình chữ nhật, $MN = AH = 4,8 \, \text{cm}$.

c) Chứng minh $AM \cdot AB = AN \cdot AC$

Trong tam giác vuông $AHM$ và $AHN$:

- $AM = \frac{AH^2}{AB} = \frac{(4,8)^2}{6} = \frac{23,04}{6} = 3,84 \, \text{cm}$
- $AN = \frac{AH^2}{AC} = \frac{(4,8)^2}{8} = \frac{23,04}{8} = 2,88 \, \text{cm}$

Chứng minh:
$$
AM \cdot AB = 3,84 \times 6 = 23,04
$$
$$
AN \cdot AC = 2,88 \times 8 = 23,04
$$

Vậy, $AM \cdot AB = AN \cdot AC$.

Bài 5:
Ta có $x^2+xy-2y-x-5=0$
Hay $x^2-2x+xy-2y-x-5=0$
$x(x-2)+y(x-2)-(x+5)=0$
$(x-2)(x+y)-(x+5)=0$
$(x-2)(x+y)-(x-2)-7=0$
$(x-2)(x+y-1)-7=0$
$(x-2)(x+y-1)=7$
Do x, y là các số nguyên nên x-2 và x+y-1 cũng là các số nguyên.
Mà 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:
TH1: $\begin{cases} x-2=1 \ x+y-1=7 \end{cases}$
$\begin{cases} x=3 \ y=5 \end{cases}$
TH2: $\begin{cases} x-2=-1 \ x+y-1=-7 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1 \ y=-7 \end{cases}$
TH3: $\begin{cases} x-2=7 \ x+y-1=1 \end{cases}$
$\begin{cases} x=9 \ y=-7 \end{cases}$
TH4: $\begin{cases} x-2=-7 \ x+y-1=-1 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-5 \ y=5 \end{cases}$
Vậy các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình đã cho là (3,5); (1,-7); (9,-7); (-5,5).