Giúp mình với! Bài 6. Cho hai đa thức $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ và $Q(x)=3x^2+2ax+b~(a,b,c\in\mathbb{R}).$ Biết,rằng P(x) có ba nghiệm phân biệt. Chứng minh Q(x) có hai nghiệm phân biệt.,Bài 7. Tìm đa thức bậc ba $P(x)=x^3+ax^2+bx+c,$ với a, b, c là các hệ số thực. Biết $P(x)$,chia hết cho $(x-1),~P(x)$ chia cho $(x-2)$ và $(x-3)$ đều có dư là 6.

Question

Accepted Answer

Bài 6:
Giả sử $P(x)$ có ba nghiệm phân biệt ${x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}.$ Ta có $P({x}_{1})=P({x}_{2})=P({x}_{3})=0.$ 
Từ đây ta suy ra $Q({x}_{1})=P'({x}_{1}), Q({x}_{2})=P'({x}_{2}), Q({x}_{3})=P'({x}_{3}).$
Do $P(x)$ có ba nghiệm phân biệt nên $P'(x)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $({x}_{1}; {x}_{2})$ và $({x}_{2}; {x}_{3})$ (theo định lý Rolle). 
Như vậy $Q(x)$ có hai nghiệm phân biệt.

Bài 7:
Theo đề bài ta có:
$P(1)=0$
$P(2)=6$
$P(3)=6$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 1+a+b+c=0 & \ 8+4a+2b+c=6 & \ 27+9a+3b+c=6 & \end{matrix}ight.$
Giải hệ phương trình trên ta được $a=-6,~b=11,~c=-6$
Vậy $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$